Lý thuyết và Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

Đây là phần 27 of 35 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

A. Lý thuyết về Tổng và hiệu của hai vectơ

1. 

Định nghĩa: Cho hai vectơ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ  =  = . Vectơ  được gọi là tổng của hai vectơ  và .

 =  + .

2. Quy tắc hình bình hành 

Nếu ABCD là hình bình hành thì

 +  = .

3. Tính chất của tổng các vectơ

- Tính chất giao hoán  +  =  + 

- Tính chất kết hợp ( +  ) +  =  + ( +)

- Tính chất của + =  + .

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ  được gọi là vec tơ đối của vec tơ , kí hiệu - .

Vec tơ đối của  là vectơ .

b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ . Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu  là vectơ  + (-)

 =  + (-).

c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có

 +  =            (1)

 -  =              (2)

(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.

(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.

5. Áp dụng 

a) Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng⇔   + = 

b) Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm  của tam giác ∆ABC ⇔  + + = 

B. Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 1 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ  +  và 

Hướng dẫn giải:

Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M' để có 

Như vậy  +  +  =  ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ  chính là vec tơ tổng của   và 

 =  +  .

Ta lại có  -  =  + (- )

  -    =  +  (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

 + =  +  =  (quy tắc 3 điểm)

Vậy  -  = 

Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng  +  =  + .

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

 =  + 

 =  + 

=>  +  =  ++ ( +)

ABCD là hình bình hành, hi vec tơ  và  là hai vec tơ đối nhau nên:

 + = 

Suy ra   +  =  + .

Cách 2. Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

 - 

 =  - 

=>