Lý thuyết và bài tập tích của vectơ với một số

Đây là phần 28 of 35 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập tích của vectơ với một số

A. Lý thuyết tích của vectơ với một số

1. Định nghĩa 

Cho một số k #  0 và vec tơ  # .

Tích của một số k với vec tơ  là một vec tơ , kí hiệu là k cùng hướng với  nếu k > 0, ngược hướng với   nếu k< 0 và có độ dài bằng 

|k|.

2. Tính chất : Tích của một số với một vec tơ có tính chất:

a) Phân phối với phép cộng vec tơ: k (+) = k + k

b) Phân phối với phép cộng các số: (h+k) = h +k

c) Kết hợp:                                     h(k) = (h.k).

d) 1.  =         (-1)= -

3.Áp dụng

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có 

               + = 2 .

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thi mọi điểm M ta có 

                + + = 3.

4. Điều kiện để hai vec tơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vec tơ cùng phương là có một số k để  = k.

5. Phân tích một vec tơ thành haivec tơ không cùng phương

Cho hai vec tơ  và  không cùng phương. Khi đó một vec tơ  đều hân tích được một cách duy nhất theo hai vec tơ  nghĩa là có duy nhất một cặp số h, k sao cho = h+ k.

B. Bài tập tích của vectơ với một số

Bài 1 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng mỉnh rằng:

  +  + = 2.

Hướng dẫn giải:

  +  +   + 

ABCD là hình bình hành nên

 +  =  (quy tắc hình bình hành của tổng)

=>   +  + =    + =2

Bài 2 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ , theo hai vectơ sau  = 

Gọi G là giao điểm của AK, BM thì G là trọng tâm của tam giác.

Ta có    =     =>  = 

             = - = -  = -

Theo quy tắc 3 điểm đối với tổng vec tơ:

+  =>  =  = ().

AK là trung tuyến thuộc cạnh BC nên

 = 2    =>  += 2

Từ đây ta có  = +  =>  = - - .

BM là trung tuyến thuộc đỉnh B nên

 = 2         => -  + = 2

                                            =>  =  + .

Bài 3 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

Bài 3. Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho  = 3. Hãy phân tích vectơ   theo hai vectơ  .

Hướng dẫn giải:

Trước hết ta có 

 = 3    =>  = 3 ( +)

                             =>  = 3 + 3

                             => -  = 3