Lý thuyết và bài tập về đường Elip - Toán lớp 10

Đây là phần 35 of 35 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập về đường Elip - Toán lớp 10

A. Lý thuyết  về đường Elip - Toán lớp 10

1. Định nghĩa đường elip

Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2

Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng F1M +F2M = 2a không đổi

Các điểm F1 và F2  gọi là tiêu điểm của elip

Khoảng cách F1 .F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm F1 và F2  chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c ; 0) và F2(c ; 0). Khi đó người ta chứng minh được

M(x ; y) ε elip <=>   +  = 1 (1)

trong đó:   b2 = a2 – c2

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip

3. Hình dạng của elip

Xét elip (E) có phương trình (1):

a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì các điểm  M1(-x ; y) M2(x ;- y)  và M3(-x ; -y) cũng thuộc (E).

Vậy (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O.

b) Thay y = 0  vào (1) ta có x = ±a suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm A1(-a ; 0) A2(a ;0).

Tương tự thay x = 0 vào (1) ta được y =  ±b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm  B1(0 ; -b) B2(0 ;b).

Các điểm  A1, A2, B1, Bgọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng  A1Agọi là trục lớn, đoạn thẳng B1, B2  gọi là trục nhỏ của elip

B. Bài tập về đường Elip - Toán lớp 10

Bài 1 trang 88 sgk hình học 10

1. Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a)  +  = 1

b) 4x2 + 9y2 = 1

c) 4x2 + 9y2 = 36

Hướng dẫn:

a) Ta có: a2 = 25 => a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10 

                              b2 = 9 => b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6 

                              c2 = a2 – b= 25 - 9 = 16  => c = 4

Vậy hai tiêu điểm là : F1(-4 ; 0) và F2(4 ; 0)

Tọa độ các đỉnh    A1(-5; 0), A2(5; 0),  B1(0; -3),  B2(0; 3).

b)

4x2 + 9y2 = 1   <=>   +  = 1

  a2=    => a =    => độ dài trục lớn 2a = 1

  b2 =   => b =  => độ dài trục nhỏ 2b = 

  c2 = a2 – b2   

 -  =      => c = 

 F1(- ; 0) và F2( ; 0)

  A1(-; 0), A2(; 0),  B1(0; - ),  B2(0;  ).

c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được :

=>  +  = 1

Từ đây suy ra: 2a = 6.     2b = 4,    c = √5

=>  F1(-√5 ; 0) và F2(√5 ; 0)

 A1(-3; 0), A2(3; 0),  B1(0; -2),  B2(0; 2).

Bài 2 trang 88 sgk hình học 10

2. Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a)  Trục lớn và trục nhỏ lần lươt  là 8 và 6

b) Trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

Hướng dẫn:

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

 +  = 1

a) Ta có a > b : 

2a = 8  => a = 4 =>  a= 16

2b = 6  => b = 3 =>  b= 9

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng   +  = 1

b) Ta có: 2a = 10  => a = 5 =>  a= 25

              2c = 6  => c = 3 =>  c= 9

       =>   b2 = a2 – c2       =>   b2 = 25 - 9 = 16

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng   +  = 1

Bài 4 trang 88 sgk hình học 10

4. Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

 Hướng dẫn:

 Ta có: 2a  = 80 => a = 40

           2b = 40 => b = 20

 

 c2 = a2 – b= 1200   => c = 20√3

Phải đóng đinh tại các điểm  F1 , F2   và cách mép ván:

F2A  = OA – OF2 = 40 - 20√3

=> F2A = 20(2 - √3)   ≈  5,4cm

Chu vi vòng dây bằng:   F1.F2+ 2a  =   40√3 + 80

                             =>  F1.F+ 2a  =   40(2 + √3)

                                   F1.F+ 2a  ≈ 149,3cm

Bài 5 trang 88 sgk hình học 10

Cho hai đường tròn C1(F1; R1)  và C2(F2; R2). C1 nằm trong C2 và F1 ≠  F2 . Đường tròn (C)   thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với  C2.Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C) di động trên một elip.

Hướng dẫn:

Gọi R là bán kính của đường tròn (C)

(C) và C1 tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF1 = R1+ R  (1)

(C) và C2 tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF2 = R2 – R  (2)

Từ (1) VÀ (2) ta được 

MF1   MF2 = R1+ R2= R không đổi

Điểm M có tổng  các khoảng cách MF1   MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2   bằng một độ dài không đổi R1+ R2

Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm F1 và F2   và có tiêu cự

F1 .F2 = R1+ R2

Comments

comments

Series Navigation<< Lý thuyết và bài tập về phương trình đường tròn