Phương trình đường tròn

Đây là phần 53 of 109 trong Series Toán lớp 10

Phương trình đường tròn

duong tron

1. Định nghĩa :

Đường tròn (O) là tập hợp các điểm M(x, y) sao cho khoảng cách từ M đến một điểm O(a,b) là một khoảng R không đổi. O gọi là tâm, R là bán kính.

2. Phương trình đường tròn dạng tổng quát :

Cho Đường tròn (O) có  tâm O(a, b) và R là bán kính.

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

3. Phương trình đường tròn dạng khai triển :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

trong đó tâm O(a, b) và bán kính R = \sqrt{a^2+b^2-c}

4. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x0, y0) :

(x0 –a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0 ) = 0

========================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 1 TRANG 83 SGK :

Tìm tâm và  bán kính của các đường tròn sau :

a)      x2 + y2 – 2x – 2y – 2  = 0

giải.

ta có : -2a = -2, -2b = -2 và c = -2

=> a = 1, b = 1 và c = -2

Tâm O(1, 1)

bán kính R = \sqrt{a^2+b^2-c}= \sqrt{1^2+1^2-(-2)}=2

BÀI 2 TRANG 83 SGK :

Lập phương trình đường tròn (C)  trong các trường hợp sau :

  1. (C)  có tâm I(-2 ; 3) và đi qua M(2 ; -3).
  2. (C)  có tâm I(-2 ; 3) và tiếp xúc đường thẳng d : x – 2y + 7 = 0
  3. (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ;5).

Giải.

  1. (C) có tâm I và đi qua M => bán kính R = IM = \sqrt{(2+2)^2+(-3-3)^2}=\sqrt{52}

(C) có phương trình : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52

duong tron tiep xuc duong thang

2. (C) tiếp xúc đường thẳng d =>  bán kính R=d(I, d)=\frac{ |-2-2.3+7| }{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}

(C) có phương trình : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 1/5

3. (C) có đường kính AB => tâm I(x ;y) là trung điểm AB : : \begin{cases} x=\frac{x_A+x_B}{2}=4\\ y=\frac{y_A+y_B}{2}=3\end{cases}(d) I(4 ;3).

(C) => bán kính R = IA = \sqrt{(4-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{13}

(C) có phương trình : (x – 1)2 + (y – 1)2 = 13.

BÀI 3.a TRANG 84 SGK :

Lập phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm : A(1 ;2), B(5 ;2) và C(1 ;-3)

Giải.

Phương trình đường tròn (C) dạng : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

(C) đi qua điểm A(1 ;2), nên : 5 -2a -2b + c = 0 (1).

(C) đi qua điểm B(5 ;2) nên : 29 – 10a – 4b + c = 0 (2).

(C) đi qua điểm C(1 ;-3) nên : 10 – 2a + 6b + c = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) : a = 3 ; b = -1/2 ; c = -1

đường tròn (C) dạng : x2 + y2 – 6x – y  – 1 = 0

—————————————————————————————————

BÀI 6 TRANG 84 SGK cơ bản :

Cho đường tròn (C) dạng : x2 + y2 + 4x – 8y  – 5 = 0

  1. Tìm tâm và  bán kính của đường tròn.
  2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A(-1 ;0).
  3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc d : 3x -4y +5 = 0.

Giải.

ta có : -2a = -4, -2b = 8 và c = -5

=> a = 2, b = -4 và c = -5

Tâm I(2, -4)

bán kính R = \sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{2^2+4^2-(-5)}=5

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A :

(x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0 ) = 0

(-1 – 2)(x + 1) + (4)(y) = 0

3x – 4y + 3 = 0

tiếp tuyến vuông góc d : 3x -4y +5 = 0 => tiếp tuyến  Δ : 4x + 3y + c = 0

(C) tiếp tuyến Δ : 4x + 3y + c = 0 => : bán kính R=d(M, \Delta )

<=> \frac{ |8-12+c| }{\sqrt{4^2+3^2}} = 5

<=> |c – 4| = 25

<=> c – 4 = 25 hoặc c – 4 = -25

<=> c  = 29 hoặc c = -21

tiếp tuyến : 4x + 3y + 29 = 0 ; 4x + 3y -21 = 0.

 Câu VI.a đại học khối A 2011 (1,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng Δ+ 2 = 0 và đường tròn(C) : x2 + y2 – 4x -2y =0 Gọi là tâm của (C), là điểm thuộc Δ. Qua kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (và là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.

Đáp Án.

=========================================

Văn ôn  – Võ luyện :

Câu VI.b.1  đại học khối B 2011 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B (1/2; 1) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BCCAAB tương ứng tại các điểm DEF. Cho D (3;1)và đường thẳng EF có phương trình – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết có tung độ dương.

  Câu VI.b đại học khối D 2011 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C): xy– 2+ 4– 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ cắt (C) tại hai điểm và sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.

  Câu VI.a đại học khối D 2010 (1,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm là H(3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(−2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết có hoành độ dương.

Câu VI.b.1 đại học khối A 2009 (1,0 điểm)

 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1. Gọi là I tâm của đường tròn (C) Xác định toạ độ điểm M  thuộc sao cho (C) sao cho góc IMO=300.

Series Navigation<< Phương trình đường ELIPPhương trình đường thẳng >>