Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*

Đây là phần 50 of 145 trong Series Toán lớp 11

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

c. n3 + 11n chia hết cho 6.

Lời giải Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11)

a. Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

+Ta có: với n = 1

A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

+Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta có:

A(k + 1) = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 3, hơn nữa 9(k + 1) chia hết 3

Nên An = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b.4n + 15n – 1 chia hết cho 9

đặt An = 4n + 15n – 1

với n = 1 => A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Ak = (4k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+Ta chứng minh: Ak+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

Ak+1 = (4k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4k.41 + 15k + 15 – 1

= (4k + 15k – 1) + (3.4k + 15) = Ak + 3(4k + 5)

Theo giả thiết quy nạp Ak chia hết 9, hơn nữa:

3(4k + 5) chia hết 9 ( chứng minh tương tự) ∀k≥ 1 nên Ak+1 chia hết 9

Vậy An = 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c.n3 + 11n chia hết cho 6.

Đặt Un = n3 + 11n

+Với n = 1 => U1 = 12 chia hết 6

+giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Uk = (k3 + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh: Uk+1 chia hết 6

Thật vậy ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

= (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12 = Uk + 3(k2 + k + 4)

+Theo giả thiết quy nạp thì:

Uk chia hết 6, hơn nữa 3(k2 + k + 4)=3(k(k+1)+4) chia hết 6 ∀k≥ 1 ( 2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2)

Do đó: Uk+1 chia hết 6

Vậy: Un = n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

 
Series Navigation<< Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức: >>