Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Đây là phần 33 of 130 trong Series Toán lớp 9

Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

A. Lý thuyết liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Tóm tắt lý thuyết

Định lý 1: Trong một đường tròn: 

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Định lý 2. Trong hai dây của một đường tròn:

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

B. Bài tập

Bài 12 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8 cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD=AB.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ OHAB, ta có

HA=HB=4cm..

Xét tam giác HOB vuông tại H, có:

OH^2=OB^2HB^2=5^24^2=9OH=3(cm).

b) Vẽ OKCD.

Tứ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra OK=HI. Ta có HI=41=3cm, suy ra OK=3cm..

Vậy OH=OK=3cm.

Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó AB=CD.

Bài 13. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) EH = EK

b) EA = EC.

Hướng dẫn giải:

a) Vì HA=HB  nên  OHAB.

Vì KC=KD  nên  OKCD.

Mặt khác, AB=CD nên OH=OK(hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

ΔHOE=ΔKOE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra EH=EK.(1) 

b) Ta có AH=KC (một nửa của hai dây bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) suy ra EH+HA=EK+KC  

hay  EA=EC.

Bài 14. Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây Abằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Giải

Vẽ OHAB, đường thẳng OH cắt CD tại K.

Ta có

OKCD

KC=KD

AH=HB

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác OBH vuông tại H, ta có:

OH=OB^2(AB/2)^2=15(cm)

OK=2215=7(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác OKD vuông tại K, ta có:

KD=OD^2OK^2=24(cm)

CD=2KD=48(cm)


Bài 15 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1

Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB>CD

Hãy so sánh các độ dài:

a) OH và OK;

b) ME và MF;

c) MH và MK.

Hướng dẫn giải:

a) Xét trong đường tròn nhỏ:

Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

AB>CDOH<OK

b) Xét trong đường tròn lớn:

Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

OH<OKME>MF

c) Xét trong đường tròn lớn:

Theo định lí 2. Trong hai dây của 1 đường tròn dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

ME>MFMH>MK

Bài 16. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.

Giải

Vẽ OHEF

Xét tam giác HOA vuông tại H ta có:

OH<OA.

Suy ra EF>BC..

Nhận xét. Trong các dây đi qua một điểm A ở trong đường tròn, dây vuông góc với Olà dây ngắn nhất.

Series Navigation<< Bài 2. Đường kính và dây của đường trònBài 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn >>