Bài 4, bài 5, bài 6, bài 7 trang 107 sách giáo khoa đại số 11

Đây là phần 69 of 145 trong Series Toán lớp 11

Bài 4, bài 5, bài 6, bài 7 trang 107 sách giáo khoa đại số 11

Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp số nhân có cùng các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Lời giải  Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11)

Giả sử có hai cấp số nhân (un), (vn) với công bội tương ứng q1 và q2.

Xét dãy số (an) với an = un.vn

Ta có: un = u1.q1n-1 vn = v1.q2n-1

an = un.vn = (u1v1).(q1q2)n-1

vậy dãy số (an) là cấp số nhân với công bội q = q1q2.

 Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:

a. 13n – 1 chia hết cho 6

b. 3n3 + 15 chia hết cho 9

Lời giải  Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11)

a. Xét un = 13n – 1

ta có: với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 chia hết 6

giả sử: uk = 13k – 1 chia hết cho 6

Ta có: uk+1 = 13k+1 – 1 = 13k+1 + 13k – 13k – 1

= 13k(13 – 1) + 13k – 1

= 12.13k + uk

=> uk+1 là tổng hai số hạng, mỗi số hạng chia hết cho 6.

Vậy uk+1 chia hết số 6

Như vậy, mỗi số hạng của dãy số (un) đều chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

Đặt un = 3n3 + 15n

+ Với n = 1 => u1 = 18 chia hết 9

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

uk = (3k2 + 15k) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh: uk+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

uk+1 = 3(k + 1)3 + 15(k + 1 ) = 3(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18 = (3k3 + 15) + 9(k2 + k + 2)

= uk + 9(k2 + k + 2)

Theo giả thiết uk chia hết 9, hơn nữa 9(k2 + k + 2) chia hết 9 k ≥ 1

Do đó uk+1 cũng chia hết cho 9.

Vậy un = 3n3 + 15n chia hết cho 9 ∀n ∈ ∈ N*

Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un) biết u1 = 2, un+ 1 = 2un – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11)

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u1 = 2; u2 = 2u1 – 1 = 3; u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9 u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Chứng minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1 => u1 = 21-1 + 1 = 2 (đúng).

Giả sử (un) đúng với n = k ≥ 1

Tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta phải chứng minh phương trình đã cho đúng với n = k + 1 nghĩa là:

uk+1 = 2k+1-1 + 1 = 2k + 1

Theo giả thiết: uk+1 =2uk-1

(1) uk+1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k.2-1 + 2 – 1 = 2k + 1

Biểu thức đã cho đúng với n = k + 1, vậy nó đúng với n ∈ N*

Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11):Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

vì là dãy tăng nên u1 = 2 < u2 < u3 < …< un ∀n ∈ N*

=> un > 2 => (un) bị chặn dưới.

Vì un = n + 1 > n ∀n ∈ N*

=> (un) không bị chặn trên. Vậy un không bị chặn.

=> u1 > 0; u2 > 0; u3 > 0; u4 > 0

Và u1 > u2; u2 > u3; u3 > u4; …

Vậy dãy số (un ) không tăng, không giảm => (un) không đơn điệu.

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Series Navigation<< Bài 1 bài 2 bài 3 (trang 107 SGK Đại số 11)Bài 8, bài 9, bài 10 trang 107 sách giáo khoa lớp 11 >>