Cho a,b,c > 0.CMR:(5b^3-a^3)/(ab+3b^2)+(5c... luôn bé hơn hoặc = a+b+c?

Cho a,b,c > 0.CMR:(5b^3-a^3)/(ab+3b^2)+(5c... luôn bé hơn hoặc = a+b+c?

đpcm <=> [b - (5b³ - a³)/(ab + 3b²)] + [c - (5c³ - b³)/(bc + 3c²)] + [a - (5a³ - c³)/(ca + 3a²)] ≥ 0
ta có:
b - (5b³ - a³)/(ab + 3b²) = (ab² + a³ - 2b³)/(ab + 3b²) ≥ (2a²b - 2b³)/(ab + 3b²) = 2(a² - b²)/(a + 3b)
do theo Cosi: ab² + a³ ≥ 2√(ab².a³) = 2a²b
hoàn toàn tương tự ta cm đc:
c - (5c³ - b³)/(bc + 3c²) ≥ 2(b² - c²)/(b + 3c)
a - (5a³ - c³)/(ca + 3a²) ≥ 2(c² - a²)/(c + 3a)
Như vậy để cm bđt đã cho, ta sẽ cm:
2(a² - b²)/(a + 3b) + 2(b² - c²)/(b + 3c) + 2(c² - a²)/(c + 3a) ≥ 0

<=> (a² - b²)/(a + 3b) + (b² - c²)/(b + 3c) + (c² - a²)/(c + 3a) ≥ 0

<=> (a² - 9b²)/(a + 3b) + 8b²/(a + 3b)
+ (b² - 9c²)/(b + 3c) + 8c²/(b + 3c)
+ (c² - 9a²)/(c + 3a) + 8a²/(c + 3a) ≥ 0

<=> (a - 3b) + 8b²/(a + 3b) + (b - 3c) + 8c²/(b + 3c) + (c - 3a)/(c + 3a) + 8a²/(c + 3a) ≥ 0

<=> 8b²/(a + 3b) + 8c²/(b + 3c) + 8a²/(c + 3a) ≥ 2(a + b + c)

<=> 4b²/(a + 3b) + 4c²/(b + 3c) + 4a²/(c + 3a) ≥ a + b + c

Ta dễ dàng cm đc bđt cuối theo Cosi - Svacxơ:
4b²/(a + 3b) + 4c²/(b + 3c) + 4a²/(c + 3a) ≥ (2a + 2b + 2c)²/(a + 3b + b + 3c + c + 3a) = a + b + c
hoặc cm bằng Cosi như sau:
4b²/(a + 3b) + (a + 3b)/4 ≥ 2b hay 4a²/(a + 3b) ≥ (5b - a)/4
tương tự:
4c²/(b + 3c) ≥ (5c - b)/4
4a²/(c + 3a) ≥ (5a - c)/4
Cộng vế 3 bđt này lại ta cm đc bđt cuối.
Tóm lại bđt ban đầu đc cm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c •

 

Comments

comments