Dấu của tam thức bậc hai

Đây là phần 107 of 109 trong Series Toán lớp 10

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1.Khái niệm

 Tam thức bậc hai (một ẩn) là đa thức có dạng f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c trong đó xx là biến a,b,ca,b,c là các số đã cho, với a0a≠0.

Định lí. Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a≠0) có biệt thức    Δ=b24ac∆=b2–4ac.

- Nếu Δ<0∆<0 thì với mọi x,f(x)x,f(x) có cùng dấu với hệ số aa.

- Nếu Δ=0∆=0 thì f(x)f(x) có nghiệm kép x=b2ax=−b2a, với mọi xb2ax≠−b2af(x)f(x) có cùng dấu với hệ số aa.

- Nếu Δ>0,f(x)∆>0,f(x) có 22 nghiệm x1,x2(x1<x2)x1,x2(x1<x2) và luôn cùng dấu với hệ số aa với mọi xx ngoài đoạn [x1;x2][x1;x2] và luôn trái dấu với hệ số aa với mọi xx trong đoạn (x1;x2)

2.Các dạng bài tập

2

3

4

3.Các bài tập ứng dụng

  1. So sánh 1 với nghiệm của phương trình 2x2 – 18x + 17 = 0 [TD10BD70]
  2. So sánh – 2 với nghiệm của phương trình f(x) = (m2 + 1)x2 – 5(m2 + 1)x – m2 + m – 1 = 0 [TD11BD70]
  3. Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm
    1. mx2 + (m – 1)x + 3 – 4m = 0 và thoả mãn x1 < 2 < x2 [VD1TTM19]
    2. (m + 1)x2 – (m – 3)x + m + 1 = 0 và thoả mãn -1 < x1 ≤ x2
    3. (m + 1)x2 + mx + 3 = 0 và thoả mãn x1 < - 2 < 1 < x2 [VD-TTM27]
    4. x2 – 2mx + m = 0 và thoả mãn x1, x2 (-1;3)
    5. x2 – 2x – 3m = 0 và thoả mãn
  4. Tìm m sao cho
    1. f(x) = 2x2 – 2(m + 1)x + 2m + 1 > 0
    2. f(x) = (m – 1)x2 – (m – 1)x + 1 – 2m ≤ 0 [VD1TTM17]
  5. Tìm m để bất phương trình f(x) = mx2 – (2m – 1)x + m + 1 < 0 vô nghiệm. [VD2TTM17]
  6. Định m để với [VD3TTM19]
  7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
    1. (x2 + 2x)2 – 4m(x2 + 2x) + 3m + 1 = 0 [VD1TTM23]
    2. x4 + mx3 + 2mx2 + mx + 1 = 0 [VD!TTM31]
  8. Tìm m để phương trình (m + 1)x2 – 3mx + 4m = 0 có duy nhất một nghiệm lớn hơn 1. [VD3TTM25]
  9. Tìm m sao cho f(x) = (m + 2)x2 – 2(m + 3)x – m + 3 > 0 với [VD1TTM34]
  10. CMR phương trình f(x) = m(x2 – 9) + x(x – 5) = 0 luôn có nghiệm. [VD-TTM38]
  11. Giải và biện luận phương trình [TD13BD71]
  12. Với giá trị nào của m thì: [TD15BD74]
  13. Tim m để [TD21BD77]

4.Giải bài tập SGK

Bài 1 (trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5x2 - 3x + 1 ;      b) -2x2 + 3x + 5

c) x2 + 12x + 36 ;      d) (2x - 3)(x + 5)

Lời giải

a) f(x) = 5x2 - 3x + 1 có Δ = 9 - 20 = -11 < 0 và có hệ số a = 5 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

b) f(x) = -2x2 + 3x + 5 có Δ = 9 + 40 = 49

Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = -1; x2 = 5/2

Ta có bảng xét dấu:

Giải bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Vậy f(x) > 0 ⇔ x ∈ (-1; 5/2)

f(x) = 0 ⇔ x = -1 ; x = 5/2

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞; -1) ∪ (5/2; +∞)

c) f(x) = x2 + 12x + 36 có Δ = 0 nên có một nghiệm là x = -6

Ta có bảng xét dấu:

Giải bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Vậy f(x) > 0 ⇔ x ≠ -6

f(x) = 0 ⇔ x = -6

(hoặc có thể phân tích f(x) = (x + 6)2 ≥ 0 ∀x ∈ R)

d) f(x) = (2x - 3)(x + 5) có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = -5

Ta có bảng xét dấu:

Giải bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Vậy f(x) > 0 ⇔ x ∈ (-∞; -5) ∪ (3/2; +∞)

f(x) = 0 ⇔ x = -5 ; x = 3/2

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-5; 3/2)

Bài 2 (trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5)

b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1)

c) f(x) = (4x2 - 1)(-8x2 + x - 3)(2x + 9)

Giải bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Lời giải

a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5)

Bảng xét dấu:

Giải bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Vậy: f(x) > 0 ⇔ x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞)

f(x) = 0 ⇔ x = 1/3; 5/4; 3

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞; 1/3) ∪ x ∈ (5/4; 3)

b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1) = x(3x - 4)(2x2 - x - 1)

Bảng xét dấu:

Giải bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Vậy: f(x) > 0 ⇔ x ∈ (-∞; -1/2) ∪ x ∈ (0; 1) ∪ x ∈ (4/3; +∞)

f(x) = 0 ⇔ x = -1/2; 0; 1; 4/3

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-1/2; 0) ∪ x ∈ (1; 4/3)

c) f(x) = (4x2 - 1)(-8x2 + x - 3)(2x + 9)

Bảng xét dấu:

Giải bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Vậy: f(x) > 0 ⇔ x ∈ (-∞; -9/2) ∪ x ∈ (-1/2; 1/2)

f(x) = 0 ⇔ x = -9/2; -1/2; 1/2

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-9/2; -1/2) ∪ x ∈ (1/2; +∞)

Giải bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Bảng xét dấu:

Giải bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Vậy: f(x) > 0 ⇔ x ∈ (-√3; -1) ∪ x ∈ (0; 1/3) ∪ x ∈ (3/4; √3)

f(x) = 0 ⇔ x = ±√3; 0; 1/3

f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞; -√3) ∪ x ∈ (-1; 0) ∪ x ∈ (1/3; 3/4) ∪ x ∈ (√3; +∞)

Bài 3 (trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a) 4x2 - x + 1 < 0

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

c) Giải bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

d) x2 - x - 6 ≤ 0

Lời giải

a) 4x2 - x + 1 < 0

Xét f(x) = 4x2 - x + 1 có: Δ = 1 - 16 = -15 < 0 và a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

(Hoặc ta có: 4x2 - x + 1 = (2x)2 - 2.2x.1/4 + 1/16 + 15/16 = (2x - 1/4)2 + 15/16 > 0 ∀x ∈ R)

b) -3x2 + x + 4 ≥ 0

Xét f(x) = -3x2 + x + 4 có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1; x2 = 4/3

Ta có bảng xét dấu:

Giải bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Nên f(x) > 0 ⇔ x ∈ (-1; 4/3)

f(x) = 0 ⇔ x = -1; x = 4/3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-1; 4/3]

c) Giải bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Giải bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Nên f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞; -8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = (-∞; -8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x2 - x - 6 ≤ 0

Xét f(x) = x2 - x - 6 có hai nghiệm phân biệt: x1 = -2; x2 = 3

Bảng xét dấu:

Giải bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10 | Giải toán lớp 10

Nên f(x) < 0 ⇔ x ∈ (-2; 3) và f(x) = 0 ⇔ x = -2; x = 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T = [-2; 3]

Bài 4 (trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0

b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0

Lời giải

a) Đặt f(x) = (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6

- Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2 khi đó phương trình f(x) = 0 trở thành:

2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình có một nghiệm

Do đó m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

- Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

Δ' = (2m - 3)2 - (m - 2)(5m - 6)

= 4m2 - 12m + 9 - 5m2 + 6m + 10m - 12

= -m2 + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1)

Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi Δ' < 0

⇔ (-m + 3)(m - 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) Đặt f(x) = (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2

- Nếu 3 - m = 0 ⇔ m = 3 khi đó phương trình f(x) = 0 trở thành:

-6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6 là nghiệm của phương trình.

Do đó m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

- Nếu 3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

Δ' = (m + 3)2 - (3 - m)(m + 2)

= m2 + 6m + 9 - 3m - 6 + m2 + 2m

= 2m2 + 5m + 3 = (2m + 2)(m + 3/2)

Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi Δ' < 0

⇔ (2m + 2)(m + 3/2) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.

Series Navigation<< Bất phương trình bậc nhất hai ẩnBảng phân bố tần số và tần suất >>