Đáp án câu khó Đề thi hình học lớp 11 - THPT Kim Liên Hà Nội 2018 Chứng minh rằng: SA/SA1 + SB/SB1 + SC/SC1 = 3SG/SG1

Đề thi hình học lớp 11 - THPT Kim Liên Hà Nội 2018

Đáp án câu khó Đề thi hình học lớp 11 - THPT Kim Liên Hà Nội 2018 Chứng minh rằng: SA/SA1 + SB/SB1 + SC/SC1 = 3SG/SG1 

Cho hình chóp tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi A'; B' là trung điểm SA và SB. Điểm C' nằm giữa S và C.

a. Tìm giao điểm G' giữa SG và (A'B'C').

b. Chứng minh rằng 3SG/SG'-SC/SC' không đổi.

Nếu biết bổ đề thì đề kim liên trở thành một đề khá dễ dàng: SA/SA'+SB/SB'+SC/SC'=3SG/SG'=> 3SG/SG'-SC/SC'=SA/SA'+SB/SB=2+2=4.

Bài toán bổ đề để làm nhanh Đề thi hình học lớp 11 - THPT Kim Liên Hà Nội 2018

Cho hình chóp S.ABC, G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng {P} cắt SA, SB, SG theo thứ tự tại A1, B1, C1, G1. Chứng minh rằng: SA/SA1 + SB/SB1 + SC/SC1 = 3SG/SG1

Do G là trọng tâm tam giác ABC => diện tích 3 tam giác GAB, GBC, GCA bằng nhau 
=> thể tích của 3 tứ diện S.GAB, S.GBC, S.GCA bằng nhau và bằng 1/3 thể tích tứ diện S.ABC 

Gọi thể tích của 3 tứ diện S.GAB, S.GBC, S.GCA là Vo 

thể tích S.ABC là V 
thể tích của 3 tứ diện S.G'A'B', S.G'B'C', S.G'C'A' lần lượt là V1, V2, V3 
thể tích của S.A'B'C' là V' 
(anh dùng dấu ' cho dễ) 

=> V1 + V2 + V3 = V' và V = 3Vo 
Ta có : V'/V = (SA'.SB'.SC')/(SA.SB.SC) 
mà  V1/Vo + V2/Vo + V3/Vo = V'/Vo = 3V'/V 

<=> SG'/SG .[ (SA'.SB')/(SA.SB) + (SB'.SC')/(SB.SC) + (SC'.SA')/(SC.SA) ] = 3.(SA'.SB'.SC')/(SA.SB.SC) 

<=> (SA.SB.SC)/(SA'.SB'.SC') . [ (SA'.SB')/(SA.SB) + (SB'.SC')/(SB.SC) + (SC'.SA')/(SC.SA) ] = 3SG/SG' 

<=> SC/SC' + SA/SA' + SB/SB' = 3SG/SG' (ĐPCM)