Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

Đây là phần 26 of 26 trong Series Toán 12

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa. Cho mặt phẳng (P). Vectơ n→ khác 0→ và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Chú ý. Giá của một vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thường được kí hiệu là nP

Một mặt phẳng (P) có vô số vectơ pháp tuyến. Nếu nP là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k.nP (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a) Tích có hướng của hai vectơ

Trước hết ta nhắc lại khái niệm định thức cấp hai để thuận lợi cho việc sử dụng

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Cho hai vectơ u→ = (x1; y1; z1), v→ = (x2; y2; z2). Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ u→ và v→ , kí hiệu là [u→v→] (hay u→ ∧ v→ ) và được xác định như sau

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Từ định nghĩa suy ra:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Chúng ta có thể kiểm tra lại được rằng tích có hướng [u→v→] vuông góc với cả hai vectơ thành phần u→ và v→ .

b) Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0, y0, z0) và nhận vectơ nP (khác 0→ ) làm vectơ pháp tuyến là:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

c) Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vectơ pháp tuyến là nP = (A; B; C)

d) Phương trình mặt phẳng chắn

Cho mặt phẳng (P) không đi qua gốc tọa độ và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Khi đó phương trình của mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

e) Một số chú ý để lập phương trình mặt phẳng

• Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) ((Q) cho trước) song song với nhau thì ta có thể chọn một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) đã cho.

• Nếu ta tìm được hai vectơ u→ và v→ (khác phương) cùng vuông góc với vectơ pháp tuyến nP của mặt phẳng (P) thì để viết được phương trình mặt phẳng (P) ta có thể chọn nP = [u→v→]

• Nếu (P) ⊥ (Q) thì nP ⊥ nQ

• Nếu hai điểm A, B cùng thuộc mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P) thì nP ⊥ AB→

3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình tổng quát lần lượt là:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Gọi nP = (A1; B1; C1), nQ = (A2; B2; C2) lần lượt là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q). Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Khi các số A2, B2, C2, D2 đều khác 0, hệ (I) tương đương với hệ điều kiện

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Chú ý.

• (P) cắt (Q) khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của chúng không song song

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Khi các số A2, B2, C2, D2 đều khác 0, hệ (II) tương đương với hệ điều kiện

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 được tính bởi công thức:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Một số áp dụng:

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Khi đó ta có:

d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = d(N, (P))

trong đó M là một điểm bất kì thuộc (P), N là điểm bất kì thuộc (Q).

• Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng (song song): Cho đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P). Khi đó ta có

d(Δ, (P)) = d(M, (P))

trong đó M là một điểm bất kì thuộc Δ.

Series Navigation<< Lý thuyết Hệ tọa độ trong không gian (Phần 2)