Lý thuyết và bài tập các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Đây là phần 32 of 62 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

A. Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A (A= 900), ta có:

1. b2= a.b’;  c2 = a.c’

2. Định lý Pitago : a2 = b2 + c2

3. a.h = b.c

4. h= b’.c’

5.  

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:   a2 = b2 + c- 2bc.cosA   (1)

                                   b2 = a2 + c- 2bc.cosB   (2)

                                   c2 = a2 + b- 2bc.cosC   (3)

 

he thuc luong trong tam giac thuong

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma, mb và mlà độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có

 

2. Định lí sin

he thuc luong trong tam giac thuong 1

Định lí: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

a/sinA=b/sinB=c/sinC= 2R

với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích tam giác:

Ta kí hiệu ha, hb và hlà các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đình A, B, C và S là diện tích tam giác đó.

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau

S = ab sinC/2=  bc sinA/2 = ca sinB/2                               (1)

S = abc/4R                                                                             (2)

S = pr                                                                                   (3)

S = công thức  Hê - rông) (4)

3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc 

he thuc luong trong tam giac thuong 2

 

Chú ý: 

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc.

B. Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Bài 1 trang 59 sgk hình học 10

Bài 1 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC vuông tại A, ∠B = 58o và cạnh a = 72cm. Tính ∠C, cạnh b và đường cao h.

Lời giải:

Giải bài 1 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

- Ta có: ∠C = 90o - ∠B = 90o - 58o = 32o

- Ta có: b = BC.sin58o = a.sin58o = 61,06 (cm)

- Ta có: c = BC.cos58o = a.cos58o = 38,15 (cm)

Do đó:

Giải bài 1 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

1. Cho tam giác ABC vuông tại A,  = 580

và cạnh a = 72 cm. Tính , cạnh b, cạnh c và đường cao ha.

Hướng dẫn:

 

 = 320; b = a.cos320     =>   b ≈ 61,06cm;         c =  a.sin32≈ 38,15cm

      h=                    =>   h≈ 32,35cm

Bài 2 trang 59 sgk hình học 10

Bài 2 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52,1cm, b = 85cm, c = 54cm. Tính các góc ∠A, ∠B, ∠C.

Lời giải:

Giải bài 2 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

=> ∠C = 180o - ∠A - ∠B = 37o32'

 

2. Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 52, 1cm; b = 85cm và c = 54cm. Tính các góc , 

Hướng dẫn:

Từ định lí cosin a2 = b2 + c- 2bc. cosA

ta suy ra    cos A = = 

=> cosA  ≈ 0,8089  =>  36

Tương tự, ta tính được     ≈  1060 28’ ;            ≈  370 32’.

Bài 3 trang 59 sgk hình học 10

Bài 3 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC có ∠A = 120o, cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a, các góc ∠B, ∠C của tam giác đó.

Lời giải:

- Ta có: a2 = b2 + c2 - 2bccos∠A

= 82 + 52 - 2.8.5.cos120o

Giải bài 3 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

=> a = √129 = 11,36 (cm)

Giải bài 3 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

=> ∠B = 37o34'

=> ∠C = 180o - (∠A + ∠B)

= 180o - (120o + 37o34') = 22o26'

3. Cho tam giác ABC có  = 120cạnh b = 8cm và c = 5cm. Tính cạnh a, và góc    của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Ta có   

 a2 = 82  + 5- 2.8.5 cos 120= 64 + 25 + 40 = 129

=> a = √129  ≈ 11, 36cm

 Ta có thể tính góc B theo định lí cosin

 cosB =  =  ≈  0,7936 =>  = 37048’

Ta cũng có thể tính góc B theo định lí sin :

cosB = =  => sinB  ≈  0,6085 =>  = 37048’

Tính C từ  = 1800- ( +    =>  ≈ 22012’

Bài 4 trang 59 sgk hình học 10

Bài 4 (trang 59 SGK Hình học 10): Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12.

Lời giải:

Ta có:

Giải bài 4 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

    p – a = 7

    p – b = 5

    p – c = 2

Giải bài 4 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

4. Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12.

Hướng dẫn:

Ta có 2p = 7 + 9 + 12  => p = 14

p - a = 14 - 7 = 7

p - b = 14 - 9 = 5

p - c = 12 - 12 = 2

Áp dụng công thức Hê ron:

S =  = = 14√5 (dvdt)

Bài 5 trang 59 sgk hình học 10

Bài 5 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC có ∠A = 120o. Tính cạnh BC, cho biết cạnh AC = m và cạnh AB = n.

Lời giải:

Ta có: BC2 = AC2 + AB2 - 2.AB.AC.cos∠A

    = m2 + n2 - 2.m.n.cos120o

    = m2 + n2 + mn

Giải bài 5 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

5. Tam giác ABC có  = 1200. Tính cạnh BC cho biết cạnh AC = m và AB = n.

 Hướng dẫn:

Ta có: BC2 = AC2 + AB- 2AB.AC. cos1200

=> BC2 = m2 + n- 2m.n (

=> BC2 = m2 + n+ m.n

=> BC = 

Bài 6 trang 59 sgk hình học 10

Bài 6 (trang 59 SGK Hình học 10): Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm và c = 13cm.

a) Tam giác đó có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó.

Lời giải:

a) Ta có:

Giải bài 6 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

=> ∠C = 91o47'

Vậy trong tam giác có ∠C là góc tù.

Giải bài 6 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

=> AM = √118,5 = 10,89

6. Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm, c = 13cm

a) Tam giác đó có góc tù không? 

b) Tính độ dài đường trung tuyến MA của tam giác ABC đó.

Hướng dẫn:

a) Xét tổng  a2 + b2  - c= 82 + 102  - 13= -5 < 0 

Vậy tam giác này có góc C tù

cos C = = ≈ -0, 3125   =>   =  91047’

b) Áp dụng công thức tính đường trung tuyến, ta tính được AM ≈ 10,89cm

Bài 7 (trang 59 SGK Hình học 10): Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết:

a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm;

b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm.

Lời giải:

a) Cạnh c = 6cm lớn nhất suy ra là góc lớn nhất.

Giải bài 7 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy ∠C = 117o16'

Giải bài 7 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy ∠A = 93o41'

 

Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết:

a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm, c = 6cm

b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm, c = 37cm

Hướng dẫn:

Ta biết trong tam giác thì đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất, vậy trong câu a) góc lớn nhất là góc C còn trong câu b) góc lớn nhất là góc A

a) cos = ≈  -0,4583     => =  117016’

b)cos  = =             =>  = 93041’

 

Bài 8 trang 59 sgk hình học 10

Bài 8 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm, ∠B = 83o và ∠C = 57o. Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác.

Lời giải:

Ta có: ∠A = 180o - (∠B + ∠C) = 180o - (83o + 57o) = 40o

Áp dụng định lí sin ta có:

Giải bài 8 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Từ đó suy ra:

Giải bài 8 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

=> b = 2R.sin B = 2.106,96.sin83o = 212,33 cm

=> c = 2R.sin C = 2.106,96.sin57o = 179,41 cm

Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm;  = 830 ;  = 570. Tính góc A, cạnh b và c của tam giác.

Hướng dẫn:

Ta có: = 180- ( + ) = 400

Áp dụng định lí sin :

                            ta có:

                              b =  ≈ 212,32cm   

                              c = ≈ 179,40cm

Bài 9 trang 59 sgk hình học 10

Bài 9 (trang 59 SGK Hình học 10): Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m, AC = n. Chứng minh rằng: m2 + n2 = 2(a2 + b2).

Lời giải:

Giải bài 9 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD, đồng thời BO là trung tuyến của ΔABC.

Suy ra:

Giải bài 9 trang 59 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

⇔ m2 + n2 = 2(a2 + b2) (đpcm)

Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b ,BD = m, và AC = n. Chứng minh rằng 

 m2 + n2  = 2(a2  + b2 )

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

OA2 =  - 

Thay OA =  , AB = a

AD = BC = b và BD = m => dpcm

Bài 10 trang 60 sgk hình học 10

Bài 10 (trang 60 SGK Hình học 10): Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ra nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc ∠BPA = 35o và ∠BQA = 48o. Tính chiều cao của tháp.

Lời giải:

Giải bài 10 trang 60 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

ΔAPB vuông tại A có ∠APB = 35o

=> AP = ABcot35o     (1)

ΔAQB vuông tại A có ∠AQB = 35o

=> AQ = ABcot48o     (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

PQ = AP - AQ = AB(cot35o - cot48o)

Giải bài 10 trang 60 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m.TỪ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc   = 350  = 480

Tính chiều cao của tháp.

Hướng dẫn :

Ta có: AQ = ABcot48

AP = ABcot35

QP = AB(cot35- cot480

=> AB =  ≈ 

Tính được AB ≈ 568,50m

Bài 11 trang 60 sgk hình học 10

Bài 11 (trang 60 SGK Hình học 10): Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (hình bên). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được ∠DA1C1 = 49o và ∠DB1C1 = 35o. Tính chiều cao CD của tháp đó.

Giải bài 11 trang 60 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

Lời giải:

Ta có: A1B1 = AB = 12 m

Xét ΔDC1A1 có: C1A1 = C1D.cot49o

Xét ΔDC1B1 có: C1B1 = C1D.cot35o

Mà A1B1 = C1B1 - C1A1 = C1D.cot35o - C1D.cot49o

        = C1D.(cot35o - cot49o)

Giải bài 11 trang 60 sgk Hình học 10 | Để học tốt Toán 10

=> Chiều cao CD của tháp là:

        CD = 1,3 + 21,47 = 22,77 m

 

Muốn đo chiều cao của tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12cm cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3cm. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1, cùng thẳng  hàng với Cthuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được = 49và   = 350. 

hướng dẫn giải:

Ta có: Chiều cao của tháp DC = DC1 + C1C = 1,3 + DC1 

=> DC = 1,3 +  

=> DC ≈ 22,8m

 

 

 

 

 

Series Navigation<< Lý thuyết và bài tập Tích vô hướng của hai vectơLý thuyết và bài tập về đường thẳng - Toán hình 10 >>