Lý thuyết và bài tập Tích vô hướng của hai vectơ

Đây là phần 31 of 35 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập Tích vô hướng của hai vectơ

A. Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

1.Định nghĩa

Cho hai vectơ  và   khác vectơ . Tích vô hướng của  và  là một số được ký hiệu là ., được xác định bởi công thức sau :

 . = ||.||cos()

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng :

Với ba vectơ  bất kì và mọi số k ta có :

 . =  . (tính chất giao hoán)

.(  + ) =   +  ( tính chất phân phối)

(k.). =  k() = .(k)

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (0; ), cho hai vec tơ  = (a1 ; a2 ), = (b1 ; b2 ). Khi đó tích vô hướng  và  là:

 . =  a1b1   + a2 b

 

 Nhận xét: Hai vectơ  = (a1 ; a), = (b1 ; b) khác vectơ  vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

a1b1   + a2 b2 = 0

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vec tơ   = (a1 ; a) được tính theo công thức:
 = 

b) Góc giữa hai vec tơ: Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ ta suy ra nếu  =(a1 ; a), = (b1 ; b) khác vectơ  thì ta có:

cos() =  = 

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA ) và B(xB ; yB ) được tính theo công thức :

AB = 

B. Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1 trang 45 sgk hình học 10

1.Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng .

Hướng dẫn giải:

 ⊥   =>     = 0

 = - = |-|. ||

Ta có: CB= a√2;   = 45

Vậy    = - = -||: ||. cos45=  -a.a√2.

=>  =  -a2

Bài 2 trang 45 sgk hình học 10

2. Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng biết OA = a, OB = b. tính tích vô hướng của . trong 2 trường hợp

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB

b) Điểm O nằm trong đoạn AB

Hướng dẫn giải:

a) Khi O nằm ngoài đoạn AB thì  hai vec tơ  và  cùng hướng và góc

() = 0

cos() = 1   nên  . = a.b

b)  Khi O nằm ngoài trongđoạn AB thì  hai vectơ  và  ngược hướng và góc

() = 180

cos() = -1   nên  . = -a.b

Bài 3 trang 45 sgk hình học 10

3. Cho nửa đường tròn tâm O có  đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tai I.

a) Chứng minh  . và . = .;

B) Hãy dùng câu a) để tính  + . theo R

Hướng dẫn

a) Nối BM

Ta có AM= AB.cosMAB

=> || = ||.cos()

Ta có:    =   ||.|| ( vì hai vectơ  cùng phương)

=>