Lý thuyết và bài tập về Bất đẳng thức và bất phương trình- Toán lớp 10

Đây là phần 13 of 35 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập về Bất đẳng thức và bất phương trình - Toán lớp 10

1. Bất đẳng thức là một mệnh đề có một trong các dạng A > B, A < B, A B, A B, trong đó A, B là các biểu thức chứa các số và các phép toán.

Biểu thức A được gọi là vế trái, B là vế phải của bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề: "A < B => C < D" là mệnh đề đúng thì ta bảo bất đẳng thức C < D là hệ quả của bất đẳng thức A < B.

Nếu "A < B => C < D" và "C < D => A < B" là mệnh đề đúng thì ta nói hai bất đẳng thức A < B và C < D tương đương, kí hiệu là A < B <=> C < D.

2. Các tính chất của bất đẳng thức.

TC1. ( Tính chất bắc cầu)

        

TC2. (Quy tắc cộng)

        A < B <=> A + C < B + C

TC3. (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều)

        

TC4. (Quy tắc nhân)

        

         

TC5. (Quy tắc nhân hai bất đẳng thức)

         

TC6. (Quy tắc lũy thừa, khai căn)

Với A, B > 0, n ∈ N* ta có:

                     A < B <=> An < Bn

                      A < B <=> .

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Côsi)

Ta gọi  là trung bình cộng của hai số a, b.

Tổng quát trung bình cộng của n số a1, a2,…, an là

                      

Trung binh nhân của hai số không âm a ≥ 0, b ≥ 0 là 

Trung bình nhân của n số không âm a1 ≥ 0, a2 ≥ 0,…, an ≥ 0 là

                                         

Định lí: Ta có bất đẳng thức dưới đây, mang tên bất đẳng Cô si:

                           ∀a, b ≥ 0.

Dấu "=" chỉ xảy ra khi a = b.

Người ta cũng có: 

                       ∀a, b, c ≥ 0.

                      ∀ a1, a2,…, an ≥ 0.

Hệ quả 1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.

Hệ quả 2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ta có các bất đẳng thức sau:

                |a + b| ≤ |a| + |b|      ∀a, b ∈ R

Dấu "=" chỉ xảy ra khi ab

                |x| ≤ a <=> - a ≤ x ≤ a     ∀a > 0

                |x| ≥ a <=> 

B. Bài tập về bất đẳng thức, bất phương trình Toán lớp 10

Bài 1 trang 79 sgk Đại số Toán 10

1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?

a) 8x > 4x;                                                            b) 4x > 8x;

c) 8x> 4x2;                                                        d) 8 + x > 4 + x.

Hướng dẫn.

Nếu x < 0 thì a) sai;

Nếu x > 0 thì b) sai;

Nếu x = 0 thì c) sai;

d) Đúng với mọi giá trị của x.

Bài 2 trang 79 sgk Đại số Toán 10

2. Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?

                            

 Hướng dẫn.

Với x > 5 thì  suy ra  trong khi  Vậy với cùng số x > 5 thì biểu thức  có giá trị nhỏ nhất.

Bài 3 trang 79 sgk Đại số Toán 10

3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh (b-c)2 < a2

b) Từ đó suy ra a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc +ca).

Hướng dẫn.

a) Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.

a + b > c    =>    a + b - c > 0

a + c > b    =>    a + c - b > 0

                 =>    [a + (b +c)](a - (b - c)) > 0

                 =>    a2 – (b-c)2 > 0  =>  a2 > (b-c)2.

b) Từ kết quả câu a), ta có: 

       a2 + b2 + c2 > (b-c)2 + (a – c)2 + (a - b)2 

<=> a2 + b2 + c2 > b2 + c2 – 2bc + a2 + c2 – 2ac + a2 + b2 – 2ab

<=> 2(ab + bc + ac) > a2 + b2 + c2.

Bài 4 trang 79 sgk Đại số Toán 10

4. Chứng minh rằng: 

x3 + y3 ≥ x2y + xy2, ∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0.

Hướng dẫn.

Ta có: (x - y)≥ 0   <=> x2 + y2 – 2xy ≥ 0

                            <=> x2 + y2 – xy ≥ xy

Do x ≥ 0, y ≥ 0        => x + y ≥ 0,

Ta có (x + y)(x2 + y2 – xy) ≥ (x + y)xy <=> x3 + y3 ≥ x2y + xy2.

Bài 5 trang 79 sgk Đại số Toán 10

5. Chứng minh rằng

x4 - √x5 + x - √x + 1 > 0, ∀x ≥ 0.

Hướng dẫn.

Đặt √x = t, x ≥ 0 => t ≥ 0.

Vế trái trở thành: t8 – t5 + t2 – t + 1 = f(t)

Nếu t = 0, t = 1, f(t) = 1 >0

Với 0 < t <1,      f(t) = t8 + (t2 - t5)+1 - t 

       t8 > 0, 1 - t > 0, t2 - t= t3(1 – t) > 0. Suy ra f(t) > 0.

Với t > 1 thì f(t) = t5(t3 – 1) + t(t - 1) + 1 > 0

Vậy f(t) > 0 ∀t ≥ 0. Suy ra: x4 - √x5 + x - √x + 1 > 0, ∀x ≥ 0.

Comments

comments

Series Navigation<< Lý thuyết và bài tập về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn - Toán lớp 10Lý thuyết về bất phương trình một ẩn >>