Lý thuyết và bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Đây là phần 17 of 35 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Lý thuyết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là mệnh đề chứa hai biến có một trong các dạng:       ax + by > c,      ax + by ≥ c,      ax + by < c,       ax + by ≤ c

trong đó a, b, c là các số đã cho với a, b ≠ 0.

    Cặp số (x0, y0) sao cho ax+ by> c là một mệnh đề đúng (bất đẳng thức đúng) được gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

2. Mệnh đề 

    Định lí. Đường thẳng ax + by = c (d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng bờ là (d). Một trong hai nửa mặt phẳng đó (không kể bờ) gồm các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by > c.

    Nửa mặt phẳng còn lại gồm các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by < c.

    Nửa mặt phẳng còn lại gồm các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by > c gọi là miền của bất phương trình đó.

3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

    Việc tìm tất cả các nghiệm chung của một tập hợp các bất phương trình có cùng hai ẩn gọi là giải hệ bất phương trình hai ẩn.

    Miền nghiên cứu của một hệ bất phương trình hai ẩn là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình của hệ đó.

B. Bài tập bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1 trang 99 SGK đại số 10

a) - x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x);                b) 3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x - 3.

Hướng dẫn.

a) - x + 2 + 2(y - 2) < 2(1 - x)    <=>    y < 

Tập nghiệm của bất phương trình là: 

T = {(x, y)|x ∈ R; y < }.

Để biểu diễn tập nghiệm T trên mặt phẳng tọa độ, ta thực hiện:

+ Vẽ đường thẳng (d): y= 

+ Lấy điểm gốc tọa độ O(0; 0)  (d).

Ta thấy: 0 <  - 0 + 2. Chứng tỏ (0; 0) là một nghiệm của bất phương trình. Vậy nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng (d) (không kể bờ) chứa gốc O(0; 0) là tập hợp các điểm biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình đã cho (nửa mặt phẳng không bị gạch sọc)

Bài 2 trang 99 SGK đại số 10

2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình hai ẩn sau.

a)                                         b) 

Hướng dẫn.

a)  <=> 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch sọc ở hình bên (không kể các điểm).

b)  <=> 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC bao gồm cả các điểm trên cạnh AC và cạnh BC (không kể các điểm của cạnh AB).

Bài 3 trang 99 SGK đại số 10

3. Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:

Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.

Hướng dẫn.

Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất. Khi đó số lãi nhà máy nhân được là P = 3x + 5y (nghìn đồng).

Các đại lượng x, y phải thỏa mãn các điều kiện sau:

(I) 

(II) 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là đa giác OABCD (kể cả biên).

Biểu thức F = 3x + 5y đạt giá trị lớn nhất khi (x; y) là tọa độ đỉnh C.

(Từ 3x + 5y = 0 => y =  Các đường thẳng qua các đỉnh của OABCD và song song với đường y =  cát Oy tại điểm có tung độ lớn nhất là đường thẳng qua đỉnh C).

Phương trình hoành độ điểm C: 5 - x =  <=> x = 4.

Suy ra tung độ điểm C là y= 5 - 4 = 1. Tọa độ C(4; 1). Vậy trong các điều kiện cho phép của nhà máy, nếu sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm đơn vị loại II thì tổng số tiền lãi lớn nhất bằng:

                            F= 3.4 + 5.1 = 17 nghìn đồng.

Comments

comments

Series Navigation<< Lý thuyết và bài tập dấu của nhị thức bậc nhất - Toán lớp 10Lý thuyết và bài tập về dấu tam thức bậc hai >>