Lý thuyết và bài tập về Căn bậc hai số học - Toán lớp 9

Đây là phần 2 of 3 trong Series Toán lớp 9

Lý thuyết và bài tập về Căn bậc hai số học - Toán lớp 9

A. Lý thuyết về Căn bậc hai số học

Căn bậc hai số học

  • Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x= a.
  • Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là √a và số âm kí hiệu là -√a.
  • Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √0 = 0.

          ĐỊNH NGHĨA

              Với  số dương a, số √a được gọi là căn bậc hai số học của a.

              Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

         Chú ý. Với a ≥ 0, ta có:

            Nếu x = √a thì x ≥ 0 và x = a;

            Nếu x ≥ 0 và x = a thì x = √a.

         Ta viết

                x = √a <=> x ≥ 0 và x = a

 So sánh các căn bậc hai số học

           Với hai số a và b không âm, nếu a < b thì √a < √b.

          Ta có thể chứng minh được:

          Với hai số a và b không âm, nếu √a < √b thì a < b.

          Như vậy ta có định lí sau đây.

          ĐỊNH LÍ

Với hai số a và b không âm, ta có:

a < b <=> √a < √b.

B. Bài tập về Căn bậc hai số học

Bài 1 trang 6 sgk toán 9 - tập 1

Bài 1. Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng

121;   144;   169;   225;  256;  324;   361;   400.

Hướng dẫn giải:

√121 = 11. Hai căn bậc hai của 121 là 11 và -11.

√144 = 12. Hai căn bậc hai của 144 là 12 và -12.

√169 = 13. Hai căn bậc hai của 169 là 13 và -13.

√225 = 15. Hai căn bậc hai của 225 là 15 và -15.

√256 = 16. Hai căn bậc hai của 256 là 16 và -16.

√324 = 18. Hai căn bậc hai của 324 là 18 và -18.

√361 = 19. Hai căn bậc hai của 361 là 19 và -19.

√400 = 20. Hai căn bậc hai của 400 là 20 và -20.

Bài 2 trang 6 sgk toán 9 - tập 1

Bài 2. So sánh

a) 2 và √3   ;    b) 6 và √41    ;    c) 7 và √47.

Lời giải.

HD. Viết mỗi số nguyên thành căn bậc hai của một số.

a) 2 =  √4. Vì 4 > 3 nên √4 > √3 hay 2 > √3.

b) ĐS: 6 <  √41 

c) ĐS: 7 > √47

Bài 3 trang 6 sgk toán 9 - tập 1

Bài 3. Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3):

a) X2 = 2;                  b) X2 = 3;

c) X2  = 3,5;               d) X2  = 4,12;

Hướng dẫn giải:

Nghiệm của phương trình X2  = a (với a ≥ 0) là căn bậc hai của a.

ĐS. a) x = √2 ≈ 1,414,          x = -√2 ≈ -1,414.   

      b) x = √3 ≈ 1,732,          x = -√3 ≈ 1,732.

     c)  x = √3,5 ≈ 1,871,       x = √3,5 ≈ 1,871.

     d)  x = √4,12 ≈ 2,030,     x = √4,12 ≈ 2,030.

Bài 4 trang 7 sgk toán 9 - tập 1

Bài 4. Tìm số x không âm, biết:

a) √x = 15;           b) 2√x =14;

c) √x  < √2;          d) √2x < 4.

Hướng dẫn giải:

a) Vận dụng điều lưu ý trong phần tóm tắt kiến thức: "Nếu a ≥ 0 thì a = (√a)2":

Ta có x = (√x)2 = 152 = 225;

b) Từ 2√x = 14 suy ra √x = 14:2 = 7

Vậy x = (√x)2  = 72 = 49.

c) HD: Vận dụng định lí trong phần tóm tắt kiến thức.

Trả lời: 0 ≤ x < 2.

d) HD: Đổi 4 thành căn bậc hai của một số.

Trả lời: 0 ≤ x < 8. 

Bài 5 trang 7 sgk toán 9 - tập 1

Bài 5. Đố. Tính cạnh một hình vuông, biết diện tích của nó bằng diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m.

Hướng dẫn giải:

Gọi x là độ dài hình vuông, x > 0. Diện tích của hình vuông là x2. Diện tích của hình chữ nhật là 3,5. 14 = 49(m2). Theo đầu bài = 49.

Suy ra x = 7 hoặc x = -7. Vì x > 0 nên x = 7.

Vậy độ dài cạnh hình vuông là 7m.

Bài 6 trang 7 sgk toán 9 - tập 1

Bài 6. Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) ,         b) √-5a;       c) ;     d) 

Hướng dẫn giải: 

a)  có nghĩa khi    ≥ 0 vì 3 > 0 nên a ≥ 0.

b) √-5a có nghĩa khi -5a ≥ 0 hay khi a ≤ 0.

c)  có nghĩa khi 4 - a ≥ 0 hay khi a ≤ 4.

d)  có nghĩa khi 3a + 7 ≥ 0 hay khi a ≥ - .

Bài 8 trang 10 sgk toán 9 - tập 1

Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:

a)  ;                 b) 

c) 2  với a ≥ 0;             d)3 với a < 2.

Hướng dẫn giải:

a) ĐS: 2 - √3;

b)  = │3 - │ = -(3 - ) =  - 3

c) ĐS: 2a.

d) 3 = 3│a - 2│.

Vì a < 2 nên a - 2 < 0. Do đó │a - 2│= -(a - 2) = 2 - a.

Vậy 3 = 3(2-a) = 6 - 3a.

Bài 9 trang 10 sgk toán 9 - tập 1

Bài 9. Tìm x biết:

a)  = 7 ;                 c)  = │-8│;

c)  = 6;                d)  = │-12│;

Hướng dẫn giải:

a) Ta có  = │x│ nên  = 7  │x│ = 7.

Vậy x = 7 hoặc x = -7.

b) HD: Chú ý rằng │-8│ = 8. ĐS: x = 8 hoặc x = -8.

c) HD: Chú ý rằng   = . ĐS: x = 3 hoặc x = -3.

d) ĐS: x = 4 hoặc x = -4.

Bài 10 trang 10 sgk toán 9 - tập 1

Bài 10. Chứng minh

a)  = 4 - 2√3;            b)  -  = -1

Hướng dẫn giải:

a) HD: Khai triển vế trái.

b) Áp dụng kết quả của câu a) ta được:  =  - 1

Suy ra  - √3 = -1

Bài 11 trang 11 sgk toán 9 - tập 1

Bài 11. Tính:

a) √16.√25 + √196:√49;                    b) 36:  - √169;

c) ;                    c) .

Hướng dẫn giải:

a)ĐS: 22.

b) 36: - √169 = 36: - 13

= 36: - 13 =36:18 - 13 = 2 - 13 = -11.

c) ĐS: = 3.

d) ĐS:  = 5.

Bài 12 trang 11 sgk toán 9

Bài 12. Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a);                         c)  

b)                       d) 

Hướng dẫn giải:

a) ĐS: x ≥ -3,5.

b) ĐS: x ≤  .

c) Điều kiện để  có nghĩa là:  ≥ 0

Vì 1 > 0 nên -1 + x > 0. Do đó c > 1.

d) Vì  ≥ 0 với mọi giá trị của x nên 1 +  > 0 với mọi giá trị của x.

Do đó  có nghĩa với mọi giá trị của x.

Bài 13 trang 11 sgk toán 9

Bài 13. Rút gọn các biểu thức sau:

a)   - 5a với a < 0.              c)  + 3a với ≥ 0.

c)  +  ,                           d)  -  với a < 0

Hướng dẫn giải:

a) Vì a < 0 nên  = │a│ = -a.

Do đó   - 5a = -2a - 5a = -7a.

b) ĐS: 8a.

c) Vì   =  và  ≥ 0 nên  sqrt{9a^{4}} +  =  +  =  +  = .

Vì a < 0 nên  < 0 và ││ = -. Do đó:

 -  =  -  = 5.││ -  = 5.(- ) -  = -13 .

Bài 14 trang 11 sgk toán 9

Bài 14. Phân tích thành nhân tử:

a)  - 3.                         b)  - 6;

c)  + x + 3;            d)  -  + 5.

Hướng dẫn giải:

HD. Chú ý rằng nếu a > 0 thì a = .

a)  - 3 =  -  = (x - √3)(x + √3).

b) Trả lời:  - 6 = (x - 6)(x + 6).

c) Trả lời:  + x + 3 = .

d) Trả lời:  -  + 5 = .

Bài 15 trang 11 sgk toán 9

Bài 15. Giải các phương trình sau:

a)  - 5 = 0;              b)  -  + 11 = 0

Hướng dẫn giải:

a) ĐS: x = √5 hoặc c = -√5 

b)  -  + 11 = 0   = 0

 x - √11 = 0  x = √11 .

Bài 16 trang 12 sgk toán 9

Bài 16. Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây.

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có

                        .

Cộng hai về với -2mV. Ta có

                         - 2mV +  =  - 2mV + 

hay                  .

Lấy căn bậc hai mỗi vế của bất đẳng thức trên, ta được:

                       

Do đó                m - V = V - m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Hướng dẫn giải:

Phép chứng minh sai ở chỗ: sau khi lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức . Ta được kết quả │m - V│ = │V - m│ chứ không thể có m - V = V - m.

Comments

comments

Series Navigation<< Toán lớp 9 học những gì?Lý thuyết và bài tập liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương >>