Lý thuyết và bài tập về dấu tam thức bậc hai

Đây là phần 18 of 35 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập về dấu tam thức bậc hai

A.Lý thuyết về dấu tam thức bậc hai

1. Tam thức bậc hai (một ẩn) là đa thức có dạng f(x) = ax2 + bx  + c trong đó x là biến a, b, c là các số đã cho, với a ≠ 0.

Định lí. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx  + c (a ≠ 0)

có biệt thức    ∆ = b2 – 4ac.

- Nếu ∆ < 0 thì với mọi x, f(x) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu ∆ = 0 thì f(x) có nghiệm kép x = , với mọi x ≠ , f(x) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu ∆ > 0, f(x) có 2 nghiệm x1, x(x< x2) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài đoạn [x1; x2] và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong đoạn (x1; x2).

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn.

Là mệnh đề chứa một biến có một trong các dạng:

ax2 + bx  + c > 0, ax2 + bx  + c < 0, ax2 + bx  + c ≥ 0, ax2 + bx  + c ≤ 0               trong đó vế trái là một tam thức bậc hai.

Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ta dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

B. Bài tập về dấu tam thức bậc hai

Bài 1 trang 105 SGK Đại số 10

1. Xét dấu các tam thức bậc hai

a) 5x– 3x + 1;                                                                b) - 2x2 + 3x + 5;

c) x2 + 12x + 36;                                                             d) (2x - 3)(x + 5).

Hướng dẫn.

a) ∆ = (- 3)2 – 4.5 < 0   =>   5x– 3x + 1 > 0   ∀x ∈ R (vì luôn cùng dấu với 5 > 0).

b) - 2x2 + 3x + 5 = 0    <=>   x1 = - 1, x2

- 2x2 + 3x + 5 = 0     với     x 

- 2x2 + 3x + 5 = 0     với     - 1 < x < .

c) ∆ = 62 – 36 = 0        =>     x2 + 12x + 36 > 0 ∀x ≠ - 6.

d) (2x - 3)(x + 5) = 0  <=>    x= - 5, x2 = 

Hệ số của tam thức bằng 2 > 0. Do đó:

(2x - 3)(x + 5) > 0       với     x 

(2x - 3)(x + 5) < 0       với     x 

 

Bài 2 trang 105 SGK Đại số 10

2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5);

b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1);

c) f(x) = (4x2 – 1)(- 8x2 + x – 3)(2x + 9);

d) f(x) = 

Hướng dẫn.

a) 3x2 – 10x + 3 = 0    <=>    x1 , x= 3

Bảng xét dấu:

Kết luận: f(x) < 0 với x ∈ (-∞; ) ∪ (3; +∞).

b) Bảng xét dấu:

c) Ta có: - 8x2 + x – 3 < 0 ∀x   (vì ∆ = 1 - 4.(- 3)(- 8) < 0, a = -8 <0).

d) Ta có: 4x2 + x – 3 = 0 <=> x= - 1, x

Bảng xét dấu:

Bài 3 trang 105 SGK Đại số 10

3. Giải các bất phương trình sau

a) 4x2 - x + 1 < 0;                                                      b) - 3x2 + x + 4 ≥ 0;

c)                                   d) x2 - x - 6 ≤ 0.

Hướng dẫn.

a) Tam thức f(x) = 4x2 - x + 1 có hệ số a = 4 > 0 biệt thức ∆ = 12 – 4.4 < 0. Do đó f(x) > 0 ∀x ∈ R.

Bất phương trình 4x2 - x + 1 < 0 vô nghiệm.

b) f(x) = - 3x2 + x + 4 = 0  <=>  x1 = - 1, x2

- 3x2 + x + 4 ≥ 0  <=>  - 1 ≤ x ≤ .

c) <=>  

<=> 

Lập bảng xét dấu vế trái:

Tập nghiệm của bất phương trình S = (-∞; - 8) ∪ (- 2; ) ∪ (1; 2).

d) Tập nghiệm S =[- 2; 3].

Bài 4 trang 105 SGK Đại số 10

4. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m - 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0;

b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0.

Hướng dẫn.

a) Với m = 2 phương trình trở thành 2x + 4 = 0 có 1 nghiệm. Loại giá trị m = 2.

Phương trình vô nghiệm nếu:

<=> 

<=> m < 1 ∪ m > 3.

b) Với m = 3, phương trình trở thành: - 6x + 5 = 0 có nghiệm. Loại trường hợp m = 3.

Phương trình vô nghiệm vô khi và chỉ khi:

<=>  < m < - 1.

[metaslider id=2017]

Comments

comments

Series Navigation<< Lý thuyết và bài tập về bất phương trình bậc nhất hai ẩnLý thuyết bảng phân bố tần số và tần suất >>