Phương pháp tìm tính đơn điệu (đồng biến – nghịch biến ) của hàm số

Đây là phần 39 of 62 trong Series Toán lớp 10

Phương pháp tìm tính đơn điệu (đồng biến – nghịch biến ) của hàm số

Định nghĩa :

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.

  • khi giá trị của biến x tăng (giảm) trên D mà giá trị của hàm số tương ứng tăng (giảm). ta gọi Hàm số  đồng biến trên D.
  • khi giá trị của biến x tăng (giảm) trên D mà giá trị của hàm số tương ứng giảm (tăng). ta gọi Hàm số nghịch biến trên D.

tóm tắt

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.

Hàm số được gọi là đồng biến trên D nếu :

Lấy x1, x2 ∈D sao cho :   x< x2 => f(x1) < f(x2) .

Hàm số được gọi là nghịch biến trên D nếu :

x1, x2 ∈ D sao cho:   x< x2 => f(x1) > f(x2) .

———————————-

Phương pháp :

Bước 1 :

tìm xác định D.

Bước 2 :

Lấy x1, x2 ∈ D sao cho :   x< x=> x– x> 0.

Bước 3 :

tính :      f(x1) = …

f(x2) = …

Bước 4 :

so sánh f(x1) và f(x2). bằng cách :

xét hiệu : f(x2) – f(x1) = … (hoặc f(x2) : f(x1) = …).

  • Nếu f(x1) < f(x2) : Hàm số được gọi là đồng biến trên D.
  • Nếu f(x1) > f(x2) : Hàm số được gọi là nghịch biến trên D.

——————————–

bài tập 1 :

chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = x + 1 đồng biến trên R.

giải.

TXĐ : D = R

Lấy x1, x2 ∈ D :   x< x=> x– x> 0.

tính : f(x1) = x1 + 1

f(x2) = x2 + 1

xét : f(x2) – f(x1) = (x2 + 1) – (x1 + 1) = x–x1

ta có : x– x> 0 => f(x2) – f(x1) > 0

=> f(x1) < f(x2)

Vậy : Hàm số đồng biến trên R.

bài tập 2 :

chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = -2x + 3 nghịch biến trên R.

giải.

TXĐ : D = R

Lấy x1, x2 ∈ D :   x< x=> x– x> 0.

tính : f(x1) = -2x1 + 3

f(x2) = -2x2 + 3

xét : f(x2) – f(x1) = (-2x2 + 3) – (-2x1 + 3) = -2(x–x1)

ta có : x– x> 0 => f(x2) – f(x1) < 0

=> f(x1) > f(x2)

Vậy : Hàm số  nghịch biến trên R.

bài tập 3 :

chứng minh rằng : hàm số y = f(x) = x2 – 5 nghịch biến trên khoảng ( -∞ ; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞).

giải.

TXĐ : D = R

Lấy x1, x2 ∈ D :   x< x=> x– x> 0.

tính : f(x1) = x1– 5

f(x2) = x2– 5

xét : f(x2) – f(x1) = (x2– 5) – (x1– 5) = x2– x12 = (x– x1) (x+ x1)

Nếu x1, x2 ∈ ( -∞ ; 0) thì x+ x1 < 0

ta lại có : x– x> 0 => (x– x1) (x+ x1) < 0 => f(x2) – f(x1) < 0

=> f(x1) > f(x2)

Vậy : Hàm số  nghịch biến trên khoảng ( -∞ ; 0).

Nếu x1, x2 ∈ (0; +∞) thì x+ x1 > 0

ta lại có : x– x> 0 => (x– x1) (x+ x1) > 0 => f(x2) – f(x1) > 0

=> f(x1) < f(x2)

Vậy : Hàm số  đồng biến trên khoảng ( 0; +∞).

Series Navigation<< Phương pháp chứng minh tính chẵn , lẻ của hàm sốPhương pháp tìm tập xác định D của hàm số >>