Bất phương trình bậc hai

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

PHỤ HUYNH VÀ HỌC SINH CÓ THỂ TÌM HIỂU THÊM:

Tất cả kiến thức về bất phương trình

Bất phương trình bậc 1

Bất phương trình chứa căn thức

I. Lý thuyết:

  • Định nghĩa: Xét tam thức bậc 2 có dạng: gif. Bất phương trình bậc 2 sẽ có dạng:

+) f(x) > 0

+) f(x) < 0

+) f(x) ≥ 0

+) f(x) ≤ 0

  • Các bước để giải bất phương trình bậc 2:

+) Bước 1: Xét dấu hệ số a của tam thức bậc 1 đã cho.

+) Bước 2: Lập bảng xét dấu của tam thức bậc 2 đã cho.

+) Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và kết luận nghiệm.

II. Phương pháp giải bất phương trình bậc 2:

  • Cách xét dấu của tam thức bậc 2:

* Xét gif (1) 

+) Nếu gif (3) thì thì f(x) vô nghiệm. Như vậy, ta có bảng xét dấu:

x

  −∞                                                        +∞

f(x)

                     Cùng dấu với hệ số a

+) Nếu gif (2) thì f(x) có nghiệm kép x'. Như vậy, ta có bảng xét dấu:

x

    −∞                                                x'                                                        +∞

f(x)

        Cùng dấu với hệ số a                 0                    Cùng dấu với hệ số a          

+) Nếu gif (4) thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2. Như vậy, ta có bảng xét dấu với x1<x2

x

−∞                                           x1                                           x2                                     +∞

f(x)

       Cùng dấu với hệ số a      0        Trái dấu với hệ số a     0   Cùng dấu với hệ số a   

-) Lưu ý: Từ bảng trên, ta có thể thấy trong khoảng 2 nghiệm thì f(x) trái dấu với hệ số a; ngoài khoảng 2 nghiệm thì f(x) cùng dấu với a. Từ đó, ta suy ra một quy tắc "Trong trái, ngoài cùng".

III. VD: Cho bất phương trình: f(x) = gif (5) > 0

  •  Bước 1: Lập bảng xét dấu cho tam thức bậc 2:

+) Xét a = (-3) < 0

+) Xét gif (9)

+) Vậy phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 1 và 2/3

+) Ta có bảng xét dấu:

x

−∞                                            2/3                                                1                                     +∞

f(x)

                         −                       0                       +                        0                     −
  •  Bước 2: Kết luận nghiệm dựa theo bảng xét dấu:

+) Vậy  ⇔ 2/3< x < 1

+) Ngoài ra, ta có thể thấy:

-) f(x) ≥ 0 ⇔ 2/3 ≤ x ≤ 1

-) f(x) < 0  ⇔ x < 2/3 hoặc x > 1

-) f(x) ≤ 0  ⇔ x ≤ 2/3 hoặc x ≥ 1

IV. Các dạng bất phương trình bậc 2 đặc biệt:

1.Bất phương trình có ẩn ở mẫu:

  • Ta có : gif (10) (1) 
  • Nếu:

+) (1) > 0 thì ta sẽ có 2 trường hợp:

-) TH1: Cả tử cả mẫu đều > 0

-) TH2: Cả tử cả mẫu đều < 0

+) (2) < 0 thì ta sẽ có 2 trường hợp:

-) TH1: Tử > 0 và Mẫu < 0

-) TH2: Tử < 0 và Mẫu > 0

+) Tương tự với (1) ≥ 0 và (1) ≤ 0.

  • Sau đó thì ta sẽ xét riêng dấu của tử và mẫu như bình thường qua phương pháp lập bảng xét dấu.

2. Bất phương trình tích:

  • Ta có: gif (8)
  • Nếu:

+) f(x) > 0 thì:

-) TH1: Cả 2 phương trình đều > 0

-) TH2: Cả 2 phương trình đều < 0

+) f(x) < 0 thì:

-) TH1: Phương trình 1 > 0 và Phương trình 2 < 0 

-) TH2: Phương trình 1 < 0 và Phương trình 2 > 0

+) Tương tự với 2 trường hợp f(x) ≥ 0 và f(x) ≤ 0.