Các phương pháp tìm nhanh cực trị của hàm số

Đây là phần 51 of 99 trong Series Công thức giải nhanh và bài tập hay

Phương pháp 1: Tìm cực trị bằng cách sử dụng bảng biến thiên

Các bước lập bảng biến thiên ta đã được biết trong phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số, chỉ khác ở phần kết luận. Ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)
Bước 2: Tìm y', giải phương trình y' = 0.
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận:

  • Nếu y' đổi dấu từ - sang + khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
  • Nếu y' đổi dấu từ + sang - khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.


Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y=13x312x22x+2
Giải
Tập xác định: D = R
y=x2x2
y=0x2x2=0[x=1x=2
Bảng biến thiên:

bang bien thien cuc tri

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại yCD=y(1)=196
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT=y(2)=43

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y=x+32x1

Giải

Tập xác định: D=R{12}

y=7(2x1)2<0xD

Vậy hàm số không có cực trị.

Phương pháp 2: Tìm cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm cấp 2

Phương pháp này thường được sử dụng đối với các hàm số mà việc lập bảng biến thiên tương đối khó khăn. Ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính y'. Giải phương trình y' = 0 và kí hiệu xi (i=1,2,...) là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính  f"(x) và f"(xi) rồi kết luận:

  • Nếu f"(xi)<0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
  • Nếu f"(xi)>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số: y=cosx+12cos2x1

Giải

Tập xác định: D = R

y=sinxsin2x

y=0sinx(1+2cosx)=0[sinx=0cosx=12[x=kπx=±2π3+k2π

y"=cosx2cos2x

Ta có: y"(kπ)=cos(kπ)2cos(k2π)=±12<0

 Hàm số đạt cực đại tại x=kπ(kZ)

y"(±2π3+k2π)=cos(±2π3)2cos(±4π3)=12+1=32>0

 Hàm số đạt cực tiểu tại x=±2π3+k2π(kZ)

Series Navigation<< Các dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng caoPhương pháp chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính chất hàm số liên tục >>