Công thức lượng giác cơ bản

Đây là phần 36 of 99 trong Series Công thức giải nhanh và bài tập hay

Phương trình lượng giác cơ bản là những phương trình có dạng f(x) = a. Trong đó f(x) là một trong bốn hàm số sinx, cosx, tanx, cotx và a là một số thực. Ta sẽ lần lượt xét bốn phương trình này.

Phương trình sinx = a

  • Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1a1.
  • Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

sinx=a[x=α+k2πx=πα+k2π(kZ)

(với α là một góc lượng giác thỏa sinα=a)

Lưu ý: Với sinα=a và α[π2;π2] thì ta ký hiệu α=arcsina. Vậy phương trình sinx = a có công thức nghiệm:

sinx=a[x=arcsina+k2πx=πarcsina+k2π(kZ)

Ví dụ:

a. sinx=12sinx=sinπ6[x=π6+k2πx=ππ6+k2π[x=π6+k2πx=5π6+k2π(kZ)

b. sinx=13[x=arcsin13+k2πx=πarcsin13+k2π(kZ)

c. sinx=2–√ : phương trình vô nghiệm vì 2–√>1.

Phương trình cosx = a

  • Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1a1.
  • Với a thỏa điều kiện trên, ta có công thức nghiệm của phương trình:

cosx=a[x=α+k2πx=α+k2π(kZ)

(với α là một góc lượng giác thỏa cosα=a)

Lưu ý: Với cosα=a và α[0;π] thì ta ký hiệu α=arccosa. Vậy phương trình cosx = a có công thức nghiệm:

cosx=a[x=arccosa+k2πx=arccosa+k2π(kZ)

Ví dụ:

a. cosx=12cosx=cos2π3[x=2π3+k2πx=2π3+k2π(kZ)

b. cosx=23[x=arccos23+k2πx=πarccos23+k2π(kZ)

c. cosx=2–√ : phương trình vô nghiệm vì 2–√<1.

Phương trình tanx = a

  • Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
  • Công thức nghiệm của phương trình:

x=tana+kπ(kZ)

Lưu ý: Với tanα=a và α(π2;π2) thì ta ký hiệu α=arctana. Vậy phương trình tanx = a có công thức nghiệm:

tanx=ax=arctana+kπ(kZ)

Ví dụ:

a. tanx=3–√tanx=tanπ3x=π3+kπ(kZ)

b. tanx=4x=arctan(4)+kπ(kZ)

Phương trình cotx = a

  • Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.
  • Công thức nghiệm của phương trình:

x=cota+kπ(kZ)

Lưu ý: Với cotα=a và α[0;π] thì ta ký hiệu α=arccota. Vậy phương trình cotx = a có công thức nghiệm:

cotx=ax=arccota+kπ(kZ)

Ví dụ:

a. cotx=3–√cotx=cot(π6)x=π6+kπ(kZ)

b. cotx=3x=arccot3+kπ(kZ)

Một số lưu ý

  • Hạn chế sử dụng arcsina,arccosa,arctana,arccota nếu a là giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
  • Trong các công thức nghiệm, không được sử dụng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
  • Các công thức nghiệm cần nhớ:

sinu=sinv[u=v+k2πu=πv+k2π(kZ)

cosu=cosv[u=v+k2πu=v+k2π(kZ)

tanu=tanvu=v+kπ(kZ)

cotu=cotvu=v+kπ(kZ)

Một số bài tập phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a. sin2x=22                b. cos(x300)=12

c. tan(x4)=3–√             d. cot(3x)=2

Giải

a. sin2x=22sin2x=sin(π4)[2x=π4+k2π2x=π+π4+k2π(kZ)

[x=π8+kπx=5π4+kπ

b. cos(x300)=12cos(x300)=cos600[x300=600+k3600x300=600+k3600(kZ)

[x=900+k3600x=300+k3600

c. tan(x4)=3–√tan(x4)=tan(π3)x4=π3+kπ(kZ)

x=4π3+k4π

d. cot(3x)=23x=arccot2+kπ(kZ)x=13arccot2kπ3

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a. sin(2xπ5)=cos3x        b. tan(4x+200)=cotx

Giải

a. sin(2xπ5)=cos3xsin(2xπ5)=sin(π23x)

[2xπ5=π23x+k2π2xπ5=π(π23x)+k2π(kZ)

   (bạn đọc tự giải tiếp)

b. tan(4x+200)=cotxtan(4x+200)=tan(900x)

tan(4x+200)=tan(x900)4x+200=x900+k1800(kZ) 

(bạn đọc tự giải tiếp)

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau:

1.sinx=sin(2x+π3)

2.cos(x+π3)=cos(3π22x)

3.sin5x=sin7x

4.tanx=tan(π3+3x)

5.sin(π33x)=sin(π2+x)

6.cos(6x+2π3)=cosx

7.tan(3x1)=tanx

8.cot(5π6x)=cot(π+x)

9.sin(7x3π2)=sin2x

10.cos(2x3π)=cosx3

11.sin(x+150)=sin(3002x)

12.cos(x+450)=cosx

13.tan(3xπ4)=tanπ6

14.cot(x2300)=cot300

15.sin(8x+1)=sin(x2)

16.cos(2003x)=cos(2x+100)

17.cot(x+π3)=cot(x)

18.sin(7x+280)=sin(x80)

19.cos(80+x)=cos2x

20.tan(x+450)=tan150

21.cos4x=12

22.sin(x+π3)=32

23.sin(xπ2)=1

24.cos3x=32

25.2sin(4x+π3)=1

26.tan(2x+3)=3–√

27.cot(150x)=1

28.2sin2x5=0

29.2cos(4x+300)+2–√=0

30.2sin(3x+2π3)+3–√=0

31.cos(x3+π6)=0

32.sin(8x+π2)=−1

Series Navigation<< Dạng bài tập phương trình lượng giác hayChuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian >>