Công thức xác định vị trí tương đối trong không gian: đường thẳng, mặt phẳng

Đây là phần 40 of 99 trong Series Công thức giải nhanh và bài tập hay

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Xét bài toán:

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):A1x+B1y+C1z+D1=0và (Q):A2x+B2y+C2z+D2=0. Xét vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Để giải bài toán này, ta gọi n⃗ 1=(A1;B1;C1) là vectơ pháp tuyến của (P), n⃗ 2=(A2;B2;C2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). Ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: nếu n⃗ 1 và n⃗ 2 cùng phương thì (P) và (Q) song song hoặc trùng nhau.

Trường hợp 2: Nếu n⃗ 1 và n⃗ 2  không cùng phương thì (P) và (Q) cắt nhau.

Lưu ý: 

- Trong trường hợp A2;B2;C2 đều khác 0, ta có thể xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng bằng cách xét tỉ lệ:

+ Nếu A1A2=B1B2=C1C2=D1D2 thì (P) và (Q) trùng nhau.

+ Nếu A1A2=B1B2=C1C2D1D2 thì (P) và (Q) song song.

+ Nếu A1A2B1B2 hoặc B1B2C1C2 thì (P) và (Q) cắt nhau.

(P)(Q)n⃗ 1n⃗ 2n⃗ 1.n⃗ 2=0

Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P):2x3y14z2=0 và (Q):x+32y+7z+1=0.

Giải

Ta có: 21=33/2=14721 (P) và (Q) song song.

Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P):3x+2z=0 và (Q):9x+3y6z+1=0.

Giải

VTPT của (P) là n⃗ 1=(3;0;2)

VTPT của (Q) là n⃗ 2=(9;3;6)

Ta thấy n⃗ 1 và n⃗ 2 không cùng phương nên hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau.

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xét bài toán:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(tR) và mặt phẳng (P):Ax+By+Cz+D=0. Xét vị trí tương đối giữa d và (P).

Để giải bài toán này, ta xét hệ phương trình:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=x0+aty=y0+btz=z0+ctAx+By+Cz+D=0()

Trường hợp 1: Hệ (*) có 1 nghiệm duy nhất  d và (P) cắt nhau, nghiệm (x, y, z) của hệ (*) là tọa độ của giao điểm.

Trường hợp 2: Hệ (*) vô nghiệm  d và (P) song song.

Trường hợp 3: Hệ (*) vô số nghiệm  d nằm trong mặt phẳng (P).

Lưu ý: Với u⃗ d là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và n⃗ p là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có:

d//(P) hoặc d(P) khi và chỉ khi u⃗ dn⃗ pu⃗ d.n⃗ p=0.

d(P) khi và chỉ khi u⃗ d và n⃗ p cùng phương.

Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d:⎧⎩⎨⎪⎪x=3+ty=23tz=2t và mặt phẳng (P):x3y+z1=0. Tìm tọa độ giao điểm nếu có.

Giải

Xét hệ phương trình: ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=3+ty=23tz=2tx3y+z1=0 (*)

3+t3(23t)2t1=0t=1

Vậy hệ (*) có nghiệm duy nhất nên d và (P) cắt nhau.

Với t=1⎧⎩⎨⎪⎪x=2y=1z=2 nên tọa độ giao điểm của d và (P) là (2;1;2).

Ví dụ 4: Tim m, n để đường thẳng d:x12=ym=z+24n và  mặt phẳng (P):2x+y2z2=0 vuông góc.

Giải

VTCP của d là: u⃗ d=(2;m;4n).

VTPT của (P) là: n⃗ p=(2;1;2)

Để d(P) khi và chỉ khi u⃗ d và n⃗ p cùng phương.

22=m1=4n2{m=1n=2

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Xét bài toán:

Cho hai đường thẳng Δ:⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+aty=y0+btz=z0+ct có VTCP là u=(a;b;c) và Δ:⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+aty=y0+btz=z0+ct có VTCP là u=(a;b;c). Xét vị trí giữa Δ và Δ

Trường hợp 1: u và u cùng phương: Lấy điểm M(x0;y0;z0)Δ, kiểm tra:

+ Nếu MΔ thì Δ và Δ trùng nhau.

+ Nếu MΔ thì Δ và Δ song song.

Trường hợp 2: u và u không cùng phương: Xét hệ phương trình:

⎧⎩⎨⎪⎪x0+at=x0+aty0+bt=y0+btz0+ct=z0+ct(I)

+ Nếu hệ (I) vô nghiệm thì Δ và Δ chéo nhau.

+ Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất thì Δ và Δ cắt nhau.

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1:⎧⎩⎨⎪⎪x=3+ty=tz=t và d2:x22=y11=z2.

Giải

VTCP của d1 u⃗ 1=(1;1;1).

VTCP của d2 u⃗ 2=(2;1;2).

u⃗ 1 và u⃗ 2 không cùng phương nên d1 và d2 cắt hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình: ⎧⎩⎨⎪⎪2+2t=3+t1+t=t2t=t (I)

Hệ (I) vô nghiệm nên d1 và d2 chéo nhau.

Series Navigation<< Bài tập phương trình tiếp tuyến cơ bản và nâng caoCông thức xác định vị trí tương đối trong không gian: mặt cầu >>