Cực trị hàm số trùng phương

Đây là phần 32 of 99 trong Series Công thức giải nhanh và bài tập hay

Các công thức giúp giải nhanh các câu hỏi trắc nghiệm cực trị hàm số trùng phương lớp 12 ôn thi THPT quốc gia.

Xét hàm số  y=ax4+bx2+c(a≠0)  (∗)

Ta có: y′=4ax3+2bx=2x(2ax2+b)

y′=0⟺x=0 hoặc x2=−b2a

(i) Hàm số (*) có 3 cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có 3 nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó  ⟺−b2a>0⟺ba<0⟺ab<0.

Đặc biệt:

  • Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu khi và chỉ khi a > 0 và b < 0.

  • Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu khi và chỉ khi a < 0 và b > 0.

(ii) Hàm số (*) có 1 cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có 1 nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó ⟺−b2a≤0⟺ba≥0⟺ab≥0.

  • Hàm số (*) có 1 cực tiểu khi và chỉ khi a > 0 và b≥0.

  • Hàm số (*) có 1 cực đại khi và chỉ khi a < 0 và b≤0.

(iii) Khi ab <0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A(0;c),B(−b2a;−Δ4a);C(b2a;−Δ4a)với Δ=b2−4ac.

  1. Phương trình qua các điểm cực trị B, C là: y=−Δ4a.

  2. Phương trình qua các điểm cực trị A, B là: y=(−b2a)3x+c.

  3. Phương trình qua các điểm cực trị A, C là: y=−(−b2a)3x+c.

  4. Với BAC^=α.Ta có: cos⁡α=b3+8ab3−8a.

  5. Diện tích tam giác ABC: S=−b532a3

  6. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R=b3−8a8|a|b

  7. Tam giác ABC vuông cân tại A ⟺b3+8a=0.

  8. Tam giác ABC đều ⟺b3+24a=0.

  9. Tam giác ABC có diện tích S⟺S2=−b532a3.

  10. Tam giác ABC có hai cực trị  B, C nằm trên trục hoành ⟺b2−4ac=0.

  11. Tam giác ABC có trọng tâm O ⟺b2−6ac=0.

  12. Tam giác ABC có trực tâm O ⟺b3=4ac−8a.

Một số ví dụ minh họa:

Bài 1. Tìm m để hàm số y=−x4+(m−2016)x2+2018 có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân tại A. 

A. m = 2017

B. m = 2016

C. m = 2018

D. m = 2019

Bài giải.

Ở đây a = -1 và b = m - 2016. 

Hàm số có ba cực trị là ab < 0 ⟺−(m−2016)<0⟺m>2016  (∗)

Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi b3=−8a⟺(m−2016)3=8⟺m−2016=2⟺m=2018.

Chọn đáp án C.

Bài 2.  Tìm m để  hàm số y=−12x4−mx2+32 có các điểm cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm đó tạo thành một tam giác vuông. 

Đáp số: m=−43.

Bài 3. Cho hàm số Cho hàm số  y=x4−2m2x2+1,với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. (Dự bị 1 khối A – 2002).

ĐS:  m = 1 và m = -1.

Bài 4. Tìm m để hàm số y=x4−2mx2+2m+m4 có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. a. A. m=−33.

B. m=23.

C. m=33.

D. m=233.

 ĐS:m=33.

Hướng dẫn: 

Ta có: a=1, b = -2m.

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi ab <0 ⟺−2m<0⟺m>0  (∗)

 ⟺b3=−24a⟺(−2m)3=−24⟺m3=3⟺m=33.(thỏa (*))

Chọn đáp án C.

Bài 5. Tìm m để hàm số y=98x4+3(m−2017)x2−2016 có ba cực trị tạo thành tam giác đều.

A. m=2016. 

B. m = 2017.

C. m = 2018.

D. m = 2015.

Đs: Đáp án A.

Bài tập luyện tập:

Bài 6. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y=mx4+2x2+m−2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.

A. m = -1

B. m =1

C. m=2

D. m =-2

ĐS: Đáp án A.

Bài 7. Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số y=1008x4−mx2+1008 có ba cực trị trong đó có hai cực trị thuộc trục hoành.

A. m=-1008

B. m=2016

C. m =1008

D. m =2017.

ĐS: Đáp án B.

Bài 8. Cho hàm số y=x4−2mx2+1, m là tham số thực. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng 1 đơn vị.            

A. m=1;m=−1+52.

B. m=1.

C. m=−1+52.

D. m=−1;m=−1+52.

ĐS: Đáp án A.

Bài 9. Cho hàm số y=x4+2mx2+m−1 có đồ thị là (Cm). Tìm m để (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32.

Bài 10. 

Cho hàm số y=14x4−2mx2+m, m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 322.

 ĐS: m = 2.

Bài 11. (A và A1  - 2012) Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2+m2  (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.     ĐS: m = 0.

Bài 12. (THPT QG 2017_các mã đề 105 & 111 & 113 & 119 & 121)  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số  y=x4−2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. 0<m<43.           

B. m<1.        

C. 0 < m < 1.             

D.m > 0.

ĐS: Đáp án C.

Series Navigation<< Cực trị hàm số trùng phươngGiá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số >>