Các công thức giúp giải nhanh các câu hỏi trắc nghiệm cực trị hàm số trùng phương lớp 12 ôn thi THPT quốc gia.
Xét hàm số y=ax4+bx2+c(a≠0) (∗)
Ta có: y′=4ax3+2bx=2x(2ax2+b)
y′=0⟺x=0 hoặc x2=−b2a
(i) Hàm số (*) có 3 cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có 3 nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó ⟺−b2a>0⟺ba<0⟺ab<0.
Đặc biệt:
Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu khi và chỉ khi a > 0 và b < 0.
Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu khi và chỉ khi a < 0 và b > 0.
(ii) Hàm số (*) có 1 cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có 1 nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó ⟺−b2a≤0⟺ba≥0⟺ab≥0.
Hàm số (*) có 1 cực tiểu khi và chỉ khi a > 0 và b≥0.
Hàm số (*) có 1 cực đại khi và chỉ khi a < 0 và b≤0.
(iii) Khi ab <0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: A(0;c),B(−b2a;−Δ4a);C(b2a;−Δ4a)với Δ=b2−4ac.
Phương trình qua các điểm cực trị B, C là: y=−Δ4a.
Phương trình qua các điểm cực trị A, B là: y=(−b2a)3x+c.
Phương trình qua các điểm cực trị A, C là: y=−(−b2a)3x+c.
Với BAC^=α.Ta có: cosα=b3+8ab3−8a.
Diện tích tam giác ABC: S=−b532a3
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: R=b3−8a8|a|b
Tam giác ABC vuông cân tại A ⟺b3+8a=0.
Tam giác ABC đều ⟺b3+24a=0.
Tam giác ABC có diện tích S⟺S2=−b532a3.
Tam giác ABC có hai cực trị B, C nằm trên trục hoành ⟺b2−4ac=0.
Tam giác ABC có trọng tâm O ⟺b2−6ac=0.
Tam giác ABC có trực tâm O ⟺b3=4ac−8a.
Một số ví dụ minh họa:
Bài 1. Tìm m để hàm số y=−x4+(m−2016)x2+2018 có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân tại A.
A. m = 2017
B. m = 2016
C. m = 2018
D. m = 2019
Bài giải.
Ở đây a = -1 và b = m - 2016.
Hàm số có ba cực trị là ab < 0 ⟺−(m−2016)<0⟺m>2016 (∗)
Tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi b3=−8a⟺(m−2016)3=8⟺m−2016=2⟺m=2018.
Chọn đáp án C.
Bài 2. Tìm m để hàm số y=−12x4−mx2+32 có các điểm cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm đó tạo thành một tam giác vuông.
Đáp số: m=−43.
Bài 3. Cho hàm số Cho hàm số y=x4−2m2x2+1,với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân. (Dự bị 1 khối A – 2002).
ĐS: m = 1 và m = -1.
Bài 4. Tìm m để hàm số y=x4−2mx2+2m+m4 có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. a. A. m=−33.
B. m=23.
C. m=33.
D. m=233.
ĐS:m=33.
Hướng dẫn:
Ta có: a=1, b = -2m.
Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi ab <0 ⟺−2m<0⟺m>0 (∗)
⟺b3=−24a⟺(−2m)3=−24⟺m3=3⟺m=33.(thỏa (*))
Chọn đáp án C.
Bài 5. Tìm m để hàm số y=98x4+3(m−2017)x2−2016 có ba cực trị tạo thành tam giác đều.
A. m=2016.
B. m = 2017.
C. m = 2018.
D. m = 2015.
Đs: Đáp án A.
Bài tập luyện tập:
Bài 6. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y=mx4+2x2+m−2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.
A. m = -1
B. m =1
C. m=2
D. m =-2
ĐS: Đáp án A.
Bài 7. Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số y=1008x4−mx2+1008 có ba cực trị trong đó có hai cực trị thuộc trục hoành.
A. m=-1008
B. m=2016
C. m =1008
D. m =2017.
ĐS: Đáp án B.
Bài 8. Cho hàm số y=x4−2mx2+1, m là tham số thực. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng 1 đơn vị.
A. m=1;m=−1+52.
B. m=1.
C. m=−1+52.
D. m=−1;m=−1+52.
ĐS: Đáp án A.
Bài 9. Cho hàm số y=x4+2mx2+m−1 có đồ thị là (Cm). Tìm m để (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32.
Bài 10.
Cho hàm số y=14x4−2mx2+m, m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 322.
ĐS: m = 2.
Bài 11. (A và A1 - 2012) Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2+m2 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. ĐS: m = 0.
Bài 12. (THPT QG 2017_các mã đề 105 & 111 & 113 & 119 & 121) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x4−2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.