Hàm số lũy thừa, số mũ

Đây là phần 8 of 26 trong Series Toán 12

Hàm số lũy thừa, số mũ

Khái niệm hàm số lũy thừa, Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát, Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương, nguyên âm, Đạo hàm của căn thức

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y = xα, với α là một số thực đã cho. Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α:

– Nếu α ∈ ℤ+ thì tập các định là ℝ.

– Nếu α ∈ ℤ ℤ+ thì tập các định là ℝ{0}.

– Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát

– Hàm số y= xα có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (xα)’= αxα1

– Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số

y= uα(x) cũng có đạo hàm trên J và (uα)’= αuα1(x)u’(x).

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y = xn có tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xn)’= nxn1 và ∀x ∈ J, (xn(x))’= nxn1(x)u’(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.

4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y = xn có tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xn)’= nxn1 và ∀x ∈ J, (un(x))’= nun1(x)u’(x) nếu u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J.

5. Đạo hàm của hàm số chứa căn thức

Hàm số x−−√n có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa x1n ( tập xác định của y = x−−√n chứa tập xác định của y = x1n và trên tập xác định của y = x1n hai hàm số trùng nhau).

Khi n lẻ thì hàm số y = x−−√n có tập xác định ℝ. Trên khoảng (0; +∞) ta có y = x−−√n = x1n và (x1n) = 1nx1n1, do đó = 1nxn1−−−−√n. Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số y = x−−√n không có đạo hàm tại x= 0.

Khi n chẵn hàm y = x−−√n có tập xác định là [0;+∞), không có đạo hàm tại x= 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo (x−−√n) .

6. Đồ thị hàm số y = xα trên khoảng (0; +∞)

Chú ý rằng khi khảo sát hàm số y = xα với α cụ thể cần xét hàm số trên tập xác định của nó (chứ không phải chỉ xét trên khoảng (0; +∞) như trên).

Series Navigation<< Khái niệm lũy thừa, cách tính lũy thừa của một sốLý thuyết logarit >>