Hệ phương trình

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

  • Gồm có 3 phần: Phần A - Phương pháp giải hệ phương trình cơ bản (6 phương pháp), Phần B - Các dạng hệ phương trình thường gặp (2 dạng), Phần C - Các dạng toán thường gặp trong dạng bài hệ phương trình (10 dạng).

PHỤ HUYNH VÀ HỌC SINH CÓ THỂ TÌM HIỂU THÊM

Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình nhanh

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

A. Phương pháp giải hệ phương trình cơ bản:

I. Phương pháp thế.

* Cơ sở phương pháp. Ta rút một ẩn (hay một biểu thức) từ một phương trình trong hệ và thế vào phương trình còn lại.

* Nhận dạng. Phương pháp này thường hay sử dụng khi trong hệ có một phương trình là bậc nhất đối với một ẩn nào đó.

Screenshot (387)

II. Phương pháp cộng đại số.

* Cơ sở phương pháp. Kết hợp 2 phương trình trong hệ bằng các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu được phương trình hệ quả mà việc giải phương trình này là khả thi hoặc có lợi cho các bước sau.

* Nhận dạng. Phương pháp này thường dùng cho các hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k.

Screenshot (388)

Screenshot (389)

III. Phương pháp biến đổi thành tích.

* Cơ sở phương pháp. Phân tích một trong hai phương trình của hệ thành tích các nhân tử. Đôi khi cần kết hợp hai phương trình thành phương trình hệ quả rồi mới đưa về dạng tích.

Screenshot (390)

Screenshot (391)

IV. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Screenshot (392)

V. Phương pháp hàm số:

* Cơ sở phương pháp: Nếu f(x) đơn điệu trên khoảng (a,b)  và (x,y) ∈ (a,b) thì f(x) = f(y) ⇔ x = y

Screenshot (393)

Screenshot (394)

VI. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:

  • Cơ sở phương pháp : Sử dụng BĐT để chứng minh hoặc ngược lại, dấu bằng xảy ra khi
  • Một số BĐT quen thuộc.

Screenshot (395)

B. Các dạng hệ phương trình thường gặp:

I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

1. Định nghĩa:

Screenshot (363)

- Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung (x;y) thì được gọi là nghiệm của hệ (I).

- Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm.

2. Các dạng bài tập:

a, Giải và biện luận phương trình:

Screenshot (364)

Screenshot (365)

b, Nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

 Những yêu cầu về nghiệm thường gặp :

- Nghiệm của hệ thỏa mãn những bất đẳng thức.

- Nghiệm của hệ thỏa mãn một hệ thức.

- Nghiệm của hệ là những số nguyên.

Screenshot (367)

Screenshot (368)

c, Giải các hệ đưa về hệ bậc nhất hai ẩn (thông qua các ẩn phụ).

Screenshot (369)

 

d, Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất.

Có khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức lại xuất hiện loại hệ này. Ta xét bài toán sau :

Screenshot (370)

II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn:

Screenshot (371)

C. Các dạng bài thường gặp:

I. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng phương pháp thế,  định thức:

Screenshot (372)

II. Hệ phương trình gồm một phương trình là bậc nhất, một phương trình không phải bậc nhất:

Screenshot (373)

III. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Screenshot (374)

Screenshot (375)

IV. Hệ hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích được thành nhân tử:

Screenshot (376)

V. Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y:

Screenshot (377)

Screenshot (378)

Screenshot (379)

VI. Hệ đối xứng loại 1:

- Định nghĩa:  Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì mỗi phương trình trong hệ không thay đổi.

Screenshot (380)

Screenshot (381)

VII. Hệ đối xứng loại 2:

- Định nghĩa:  Là loại hệ hai phương trình hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì phương trình (1) trở thành phương trình (2) và phương trình (2) trở thành phương trình (1).

Screenshot (382)

Screenshot (383)

VIII. Hệ có chứa căn thức:

Lưu ý: - Trước khi giải hệ phải đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa

            - Sau khi giải xong cần đối chiếu với điều kiện trên

Bài tập1: Giải các hệ phương trình sau ( Đặt ẩn phụ)

Screenshot (384)

IX. Hệ phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Screenshot (385)

X. Hệ có chứa tham số:

Screenshot (386)