Lý thuyết nhị thức Newton và tam giác Pascal

Đây là phần 111 of 146 trong Series Toán lớp 11

Lý thuyết nhị thức Newton và tam giác Pascal

Tóm tắt kiến thức về nhị thức Newton

I. Nhị thức Newton

1. Công thức nhị thức Newton

Với a, b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

(a+b)n = C0nan+C1nan1b+C2nan2b2++Cn1nabn1+Cnnbn   (1)

2. Quy ước

Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:

a0 = 1; an=1an

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện a và b đều khác 0, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

(a+b)n = k=0nCknankbk = k=0nCknakbnk

II. Tam giác Pascal

1. Mô hình của tam giác Pascal

Lý thuyết nhị thức Newton và tam giác Pascal

Ứng dụng tam giác pascal khai triển (xy)n

Lý thuyết nhị thức Newton và tam giác Pascal-1

2. Cấu tạo của tam giác Pascal

– Số đầu tiên và cuối cùng đều bằng 1

– Xét hai số ở cột k và cột k + 1, đồng thời cùng thuộc dòng n, (k ≥ 0; n ≥1), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột k + 1 và dòng n + 1.

3. Tính chất của tam giác Pascal

Từ cấu tạo của tam giác Pascal, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng n và cột k là Ckn

b) Các số của tam giác Pascal thỏa mãn công thức Pascal:

Ckn + Ck+1n = Ck+1n+1

c) Các số ở dòng n là các hệ số trong khai triển của nhị thức (a+b)n (theo công thức nhị thức Newton), với a, b là hai số thực tùy ý. Chẳng hạn, các số ở dòng 4 là các hệ số trong khai triển của (a+b)4 (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) dưới đây:

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Series Navigation<< Phép thử và biến cốLý thuyết Hoán vị – Chỉnh hợp và Tổ hợp >>