Lý thuyết và bài tập tích của vectơ với một số

Đây là phần 28 of 109 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập tích của vectơ với một số

A. Lý thuyết tích của vectơ với một số

1. Định nghĩa 

tich vecto voi 1 so

Cho một số k #  0 và vec tơ 

Tích của một số k với vec tơ  là một vec tơ , kí hiệu là k cùng hướng với nếu k > 0, ngược hướng với nếu k< 0 và có độ dài bằng 

|k|.

tich vecto voi 1 so 1

2. Tính chất : Tích của một số với một vec tơ có tính chất:

a) Phân phối với phép cộng vec tơ: k (+ k

b) Phân phối với phép cộng các số: (h+k)

c) Kết hợp:                                     h(k

d) 1. 

3.Áp dụng

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có 

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thi mọi điểm M ta có                

4. Điều kiện để hai vec tơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vec tơ cùng phương là có một số k để 

5. Phân tích một vec tơ thành haivec tơ không cùng phương

Cho hai vec tơ không cùng phương. Khi đó một vec tơ đều hân tích được một cách duy nhất theo hai vec tơ , nghĩa là có duy nhất một cặp số h, k sao cho 

B. Bài tập tích của vectơ với một số

Bài 1 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

tich 1

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng mỉnh rằng:

 Hướng dẫn giải:

ABCD là hình bình hành nên quy tắc hình bình hành của tổng)

Bài 2 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

tich 2

tich 3

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ

Gọi G là giao điểm của AK, BM thì G là trọng tâm của tam giác.

Ta có   

  Theo quy tắc 3 điểm đối với tổng vec tơ:

AK là trung tuyến thuộc cạnh BC nên

BM là trung tuyến thuộc đỉnh B nên             

Bài 3. Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho = 3 Hãy phân tích vectơ   theo hai vectơ  

tich 4

Hướng dẫn giải:

Trước hết ta có 

Theo quy tắc 3 điểm, ta có

Bài 4 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

tich 5

tich 5.1

Bài 4. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC  và D là trung điểm của đạn AM. Chứng minh rằng:

với O là điểm tùy ý.Hướng dẫn giải:

a) Gọi M là trung điểm của BC nên:

 

Bài 5 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

Bài 5. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:

tich 6

N là trung điểm của CD:          

Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

 

vì M là trung điểm của Ab nên: 

Chứng minh tương tự, ta có     2

Chú ý: Sau khi chứng minh 2 C = a chỉ cần chứng minh thêm  cũng được

Bài 6 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

tich 8

Bài 6 Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho

Hướng dẫn giải:

Đẳng thức này chứng tỏ hi vec tơ  là hai vec tơ ngược hướng, do đó K thuộc đoạn AB

Ta lại có: 

Bài 7 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

tich 9

Bài 7. Cho tam giác ABC. Tìm điểm m sao cho 

Gọi D là trung điểm của cạnh AB, ta có:

Đẳng thức đã cho trở thành:

Đẳng thức này chứng tỏ M là trung điểm của CD

Bài 8 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

tich 0

Bài 8. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

 

 

Gọi G là trong tâm của tam giác MPR, ta có:

 Vậy G là trọng tâm của tam giác NQS

Bài 9 trang 17 sgk toán hình học lớp 10

tich 10

tich 11

Bài 9. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải:

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

A1B1 // AB;  A2C2 // AC;   B2C1 // BC.

Dễ thấy các tam giác MB1C2; MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều. Ta lại có MD B1C2 nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B1Ccủa tam giác MB1C2

Ta có 2Tương tự: 2 

Tứ giác là hình bình hành nên

 

 

vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên

 

Cuối cùng ta có: 

 

Series Navigation<< Lý thuyết và Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơLý thuyết và bài tập về Hệ trục tọa độ >>