Lý thuyết và Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

Đây là phần 27 of 109 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

A. Lý thuyết về Tổng và hiệu của hai vectơ

1. 

Định nghĩa: Cho hai vectơ . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ  =  = . Vectơ  được gọi là tổng của hai vectơ  và .

 =  + .

2. Quy tắc hình bình hành 

Nếu ABCD là hình bình hành thì

 +  = .

3. Tính chất của tổng các vectơ

- Tính chất giao hoán  +  =  + 

- Tính chất kết hợp ( +  ) +  =  + ( +)

- Tính chất của + =  + .

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vec tơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vec tơ  được gọi là vec tơ đối của vec tơ , kí hiệu - .

Vec tơ đối của  là vectơ .

b) Hiệu của hai vec tơ: Cho hai vectơ . Vec tơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu  là vectơ  + (-)

 =  + (-).

c) Chú ý: Với ba điểm bất kì, ta luôn có

 +  =            (1)

 -  =              (2)

(1) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với tổng của hai vectơ.

(2) là quy tắc 3 điểm (quy tắc tam giác) đối với hiệu các vectơ.

5. Áp dụng 

a) Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng⇔   + = 

b) Trọng tâm của tam giác:

G là trọng tâm  của tam giác ∆ABC ⇔  + + = 

B. Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 1 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 1. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ  +  và 

Hướng dẫn giải:

Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M' để có 

Như vậy  +  +  =  ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ  chính là vec tơ tổng của   và 

 =  +  .

Ta lại có  -  =  + (- )

  -    =  +  (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

 + =  +  =  (quy tắc 3 điểm)

Vậy  -  = 

Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng  +  =  + .

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

 =  + 

 =  + 

=>  +  =  ++ ( +)

ABCD là hình bình hành, hi vec tơ  và  là hai vec tơ đối nhau nên:

 + = 

Suy ra   +  =  + .

Cách 2. Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

 - 

 =  - 

=>  + =  ( +) - ( +).

ABCD là hình bình hành nên  và  là hai vec tơ đối nhau, cho ta:

 + = 

Suy ra:   +  =  + .

Bài 4 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 4 .Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng  +  + =  

Hướng dẫn giải:

Ta xét tổng:

 +  + +  + +  =  =                      (1)

Mặt khác, ta có ABIJ, BCPQ và CARS là các hình bình hành nên:

  = 

 = 

 = 

=>  ++ =  +  + =  =                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra :  +  + =  (dpcm)

Bài 5 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 5. Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ  +  và  - 

Hướng dẫn giải:

Ta có  +  = 

 =  = a

Ta có:  -  =  +.

Trên tia CB, ta dựng  = 

=>  -  =  + = 

Tam giác EAC vuông tại A và có : AC = a, CE = 2a , suy ra AE = a√3

Vậy  =  = a√3

Bài 6 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD  có tâm O. Chứng minh rằng:

a)  -  = ;

b)  -  = ;

c)   - =  - ;

d)  -  +  = .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có, theo quy tắc ba điểm của phép trừ:

 =  -      (1)

Mặt khác,         =                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

 =  - .

b) Ta có :  =  -                  (1)

 =                              (2)

Từ (1) và (2) cho ta:

 =  - .

c) Ta có :

 -  =            (1)

 -  =             (2)

 =                         (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra đpcm.

d)  -   +  = (  - ) +  =  + =  +  ( vì  = ) = 

Bài 7 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 7. Cho  là hai vectơ khác. Khi nào có đẳng thức

a)  =  + ;

b)   = .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có   =  + 

Nếu coi hình bình hành ABCd có  =  =  và  =  =  thì   là độ dài đường chéo AC và  = AB; = BC.

Ta lại có: AC = AB + BC

Đẳng thức xảy ra khi điểm B nằm giữa hai điểm A, C.

Vậy   =  +  khi hai vectơ  cùng hướng.

b) Tương tự,  là độ dài đường chéo AC

 là độ dài đường chéo BD

 = => AC = BD.

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có AD  AB hay   

Bài 8 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 8. Cho  = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ  và 

Hướng dẫn giải:

Từ  = 0, ta có  +  = 0    =>  = -

Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài  = , cùng phương và ngược hướng

Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 9. Chứng minh rằng  =  khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD  và BC trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho   =  thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có  =  + ;

 = 

Vì  =  nên  +  =  

=>  -  =  - 

=>  +  =  +               (1)

Vì I là trung điểm của AD nên   +  =                (2)

Từ (1) và (2) suy ra  +  =                                (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.

b) AD và BC  có chung trung điểm I, ta chứng minh  = .

I là trung điểm của AD    =>   +  =    =>  -  =

I là trung điểm của BC    =>  +  =     =>   - 

Suy ra   -  =   - 

=>  +  =  +     =>   = (đpcm)

Bài 10 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 10. Cho ba lực  =  =  và  =  cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của  đều là 100N  và  = 

Tìm cường độ và hướng của lực .

Hướng dẫn giải:

Đáp số  = 100√3 và  ngược hướng với hướng  với E là đỉnh thứ tư của hình bình hành MACB

 

Series Navigation<< Lý thuyết và bài tập về Vecto - Toán lớp 10Lý thuyết và bài tập tích của vectơ với một số >>