Lý thuyết và bài tập về đường Elip - Toán lớp 10

Đây là phần 35 of 109 trong Series Toán lớp 10

Lý thuyết và bài tập về đường Elip - Toán lớp 10

A. Lý thuyết  về đường Elip - Toán lớp 10

1. Định nghĩa đường elip

Định nghĩa : Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2

Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng F1M +F2M = 2a không đổi

Các điểm F1 và F2  gọi là tiêu điểm của elip

Khoảng cách F1 .F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip

2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip có tiêu điểm F1 và F2  chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1(-c ; 0) và F2(c ; 0). Khi đó người ta chứng minh được

M(x ; y) ε elip <=>

ly-thuyet-phuong-trinh-duong-elip-1 trong đó:   b2 = a2 – c2

Các thông tin của elip (E)

- Hai tiêu điểm: F1(-c;0),F2(c;0).

- Bốn đỉnh A1(-a;0),A2(a;0),B1(0;-b),B2(0;b)

- Độ dài trục lớn: A1A2=2a, độ dài trục nhỏ B1B2=2b

- Tiêu cự: F1F2=2c

- Elip (E) có tâm đối xức là gốc tọa độ, có hai trục đối xức là các trụ tọa độ.

- Bốn đường thẳng x=±a,y=±b tạo thành một hình chữ nhật, gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip (E). Hình chữ nhật có chiều dài là 2a và chiều rộng là 2b.

3. Hình dạng của elip

Xét elip (E) có phương trình (1):

a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì các điểm  M1(-x ; y) M2(x ;- y)  và M3(-x ; -y) cũng thuộc (E).

Vậy (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O.

b) Thay y = 0  vào (1) ta có x = ±a suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm A1(-a ; 0) A2(a ;0).

Tương tự thay x = 0 vào (1) ta được y =  ±b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm  B1(0 ; -b) B2(0 ;b).

Các điểm  A1, A2, B1, Bgọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng  A1Agọi là trục lớn, đoạn thẳng B1, B2  gọi là trục nhỏ của elip

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10: Phương trình đường Elip (phần 1)

Câu 1: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lơn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Câu 2: Phương trình của elip có 1 tiêu điểm F2(1;0) và đi qua điểm M(2; -2/√5) là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Câu 3: Cho elip có phương trình 4x2+9y2=36. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:

A. 6     B. 12     C. 24     D. 36

Câu 4: Cho elip (E) có phương trình

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy?

A. y = 2x     B. y = 3     C. x = 3     D. y = 10

Câu 5: Cho elip (E) có phương trình

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

với hai tiêu điểm là F1,F2. Với điểm M bất kì trên (E) thì chu vi tam giác MF1F1 là:

A. 50     B. 36

C. 34     D. Thay đổi phụ thuộc vào vị trí M

Câu 6: Cho elip (E) có phương trình

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

và (H) là hình vuông có các cạnh đều tiếp xúc với (E). Khi đó diện tích của (H) là:

A. 194     B. 260     C. 388     D. 288

Hướng dẫn giải và Đáp án

1-D 2-C 3-C 4-B 5-A 6-C

Câu 1:

Theo bài ra ta có độ dài trục lớn 2a = 8 => a = 4, độ dài trục nhỏ 2b = 6 => b = 3 nên phương trình chính tắc của elip là

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Đáp án là D.

Câu 2:

Phương trình chính tắc của (E) và:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Elip có một tiêu điểm F2(1;0) và đi qua điểm M(2; -2/√5) nên ta có

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Đáp án là C.

Câu 3:

Elip có phương trình:Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Hình chữ nhật cơ sở có chiều dài là 6 và chiều rộng là 4 nên diện tích là 24.

Đáp án là C.

Câu 4:

Để đường thẳng cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy thì đường thẳng đó cần song song với trục Ox. Phương án D không thỏa mãn vì không cắt (E).

Đáp án là B.

Câu 5:

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có các thông tin về các bán trục và bán tiêu cự a = 13, b = 5, c = 12. Theo định nghĩa của elip ta có MF1+MF2=2a=26,F1F2=2c=24. Chu vi tam giác MF1F2 là 50

Đáp án là A.

Câu 6:

Ta có nhận xét sau: đường thẳng d: ax + by + c = 0 tiếp xúc với (E) khi hệ phương trình

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

<=> đường thẳng Δ: 13ax + 5by + c = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): x2+y2=1

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

<=>169a2+25b2=c2 (*). Ta gọi hệ thức (*) là điều kiện tiếp xúc của d và (E).

Gọi bốn cạnh của hình vuông là

d1:ax+by+c1=0 ,d2:ax+by+c2=0 ,

d3:ax+by+c3=0,d4:ax+by+c4=0 .

Dùng điều kiện tiếp xúc trên ta có

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Do (H) là hình vuông nên d(d1,d2)=d(d3,d4) => |c1|=|c3| => a2 = b2

Ta có c12= c22= c32 = c42 = 194a2 = 194b2.

Diện tích hình vuông (H) là

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Đáp án là C.

Chú ý. Trong trường hợp tổng quát ta cũng có điều kiện tiếp xúc của đường thẳng a: mx + ny + p = 0 và elip (E):

Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 10

Bài 1 trang 88 sgk hình học 10

1. Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

ly thuyet elip 1

b) 4x2 + 9y2 = 1

c) 4x2 + 9y2 = 36

Hướng dẫn:

ly thuyet elip 2

a) Ta có: a2 = 25 => a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10 

                              b2 = 9 => b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6 

                              c2 = a2 – b= 25 - 9 = 16  => c = 4

Vậy hai tiêu điểm là : F1(-4 ; 0) và F2(4 ; 0)

Tọa độ các đỉnh    A1(-5; 0), A2(5; 0),  B1(0; -3),  B2(0; 3).

c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được :

Từ đây suy ra: 2a = 6.     2b = 4,    c = √5

=>  F1(-√5 ; 0) và F2(√5 ; 0)

 A1(-3; 0), A2(3; 0),  B1(0; -2),  B2(0; 2).

ly thuyet elip 3

Bài 2 trang 88 sgk hình học 10

2. Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a)  Trục lớn và trục nhỏ lần lươt  là 8 và 6

b) Trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

Hướng dẫn:

ly thuyet elip 4

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

a) Ta có a > b : 

2a = 8  => a = 4 =>  a= 16

2b = 6  => b = 3 =>  b= 9

b) Ta có: 2a = 10  => a = 5 =>  a= 25

              2c = 6  => c = 3 =>  c= 9

       =>   b2 = a2 – c2       =>   b2 = 25 - 9 = 16

Bài 3:

ly thuyet elip 5

ly thuyet elip 6

Bài 4 trang 88 sgk hình học 10

4. Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

ly thuyet elip 7

 Hướng dẫn:

 Ta có: 2a  = 80 => a = 40

           2b = 40 => b = 20

 

 c2 = a2 – b= 1200   => c = 20√3

Phải đóng đinh tại các điểm  F1 , F2   và cách mép ván:

F2A  = OA – OF2 = 40 - 20√3

=> F2A = 20(2 - √3)   ≈  5,4cm

Chu vi vòng dây bằng:   F1.F2+ 2a  =   40√3 + 80

                             =>  F1.F+ 2a  =   40(2 + √3)

                                   F1.F+ 2a  ≈ 149,3cm

Bài 5 trang 88 sgk hình học 10

Cho hai đường tròn C1(F1; R1)  và C2(F2; R2). C1 nằm trong C2 và F1 ≠  F2 . Đường tròn (C)   thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với  C2.Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C) di động trên một elip.

Hướng dẫn:

ly thuyet elip 8

Gọi R là bán kính của đường tròn (C)

(C) và C1 tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF1 = R1+ R  (1)

(C) và C2 tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF2 = R2 – R  (2)

Từ (1) VÀ (2) ta được 

MF1   MF2 = R1+ R2= R không đổi

Điểm M có tổng  các khoảng cách MF1   MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2   bằng một độ dài không đổi R1+ R2

Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm F1 và F2   và có tiêu cự

F1 .F2 = R1+ R2

 

 

 

Series Navigation<< Lý thuyết và bài tập về phương trình đường trònPhương pháp giải phương trình trị tuyệt đối dạng cơ bản lớp 10 HK 1. >>