Nguyên hàm: Lý thuyết và Bài tập

NGUYÊN HÀM: LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

  • Bài viết gồm 2 phần: Phần Lý thuyết và Phần Bài tập.
  • Phần lý thuyết gồm định nghĩa, định lý, tính chất và bảng công thức.
  • Phần bài tập gồm các dạng bài tập của phần nguyên hàm.

PHỤ HUYNH VÀ CÁC EM HỌC SINH CÓ THỂ TÌM HIỂU THÊM

Nguyên hàm hữu tỷ, vô tỷ

Nguyên hàm lượng giác

Các loại nguyên hàm

I. Lý thuyết nguyên hàm:

1. Định nghĩa:

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b)nếu F(x)=f(x)

Ví dụ:

  • Hàm số y=x2 là nguyên hàm của hàm số y=2x trên vì (x2)=2x

2. Định lý:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

  • Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C

3. Sự tồn tại của nguyên hàm:

  • Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Các tính chất:

gif (1)

5. Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp:

ly-thuyet-nguyen-ham

Screenshot (91)

  • Tìm hiểu thêm về các công thức nguyên hàm cơ bản và nâng cao ở đây.

II. Các phương pháp tính nguyên hàm:

1.Phương pháp đổi biến số:

  • Định lí 1: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì 

+) ∫f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C

  • Chứng minh:

+) ∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx thì ta đặt:  gif (3)

+) Khi đó:

gif (4)

  • Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có:

gif (2)

  • Các dạng biến số thường gặp:

Screenshot (92)

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần:

  • Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

+) ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx

+) Hay ∫udv = uv - ∫vdu

  • Các dạng bài thường gặp có thể dùng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Screenshot (93)

Screenshot (115)

Screenshot (116)

  • Chú ý: đặt u là “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” còn lại đặt dv.
  • Tìm hiểu thêm về nguyên hàm từng phần ở đây.

III. Một số bài tập tính nguyên hàm:

1. Bài tập vận dụng phương pháp sử dụng công thức nguyên hàm đơn giản:

Screenshot (94)

2. Bài tập sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần:

Screenshot (95)

3. Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến số:

Screenshot (96)

Screenshot (97)

4. Bài tập trắc nghiệm:

https://drive.google.com/file/d/1p3ynt4aS2lkFDQVgYKzSJYZA8bsSkV66/view?usp=sharing

5. Bài tập nguyên hàm vận dụng cao: Xem thêm ở đây.