Phương pháp giải nhanh phương trình số phức cơ bản và nâng cao

Đây là phần 46 of 99 trong Series Công thức giải nhanh và bài tập hay

Trong bài này ta sẽ tìm hiểu một số phương pháp giải phương trình số phức:

Phương pháp 1: rút z hoặc z¯

Phương pháp này có thể áp dụng cho các phương trình đơn giản chỉ có ẩn z hoặc z¯.

Ví dụ 1: Tìm số phức z thỏa: (1i)z+34i=0.

Giải:

(1i)z+34i=0z=3+4i1iz=72+12i

Ví dụ 2: Tìm số phức z thỏa: (iz¯3)(2i)+z¯(1+2i)=i+1

Giải:

(iz¯3)(2i)+z¯(1+2i)=i+1

(2i+1)z¯6+3i+z¯(1+2i)=i+1

z¯(2i+1+1+2i)=i+1+63i

z¯=72i2+4i=31085iz=310+85i

Phương pháp 2: đặt z=a+bi,(a,bR)

Phương pháp này có thể sử dụng với các phương trình có chứa nhiều ẩn như z,z¯,|z|. Ta áp dụng lý thuyết hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

Ví dụ 3: Tìm số phức z biết (2i)z(5+3i)z¯¯¯=17+16i

Giải:

Đặt z=a+bi,(a,bR). Ta được phương trình:

(2i)(a+bi)(5+3i)(abi)=17+16i

2a+2biai+b5a+5bi3ai3b=17+16i

{2a+b5a3b=172ba+5b3a=16

{3a2b=174a+7b=16{a=3b=4

Vậy z=3+4i.

Ví dụ 4: Tìm số phức z biết z.z¯¯¯+(zz¯¯¯)=42i

Giải:

Đặt z=a+bi,(a,bR). Ta được phương trình:

(a+bi)(abi)+(a+bia+bi)=42i

a2+b2+2bi=42i

{a2+b2=42b=2{a2+1=4b=1{a=±3–√b=1

Vậy z=3–√i hoặc z=3–√+i

Phương pháp 3: sử dụng các tính chất của số phức

Ta có thể sử dụng các tính chất của số phức liên hợp và môđun của số phức:

z1±z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z¯1±z¯2 z1.z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z¯1.z¯2 (z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z¯1z¯2
|z1|.|z2|=|z1.z2| |z1||z2|=∣∣z1z2∣∣ z.z¯=|z|2

Phương pháp này sử dụng trong các bài toán tương đối khó, nếu giải bằng phương pháp 2 có thể dẫn đến các hệ phương trình phức tạp.

Ví dụ 5: Tìm số phức z biết ∣∣z2+z¯∣∣=2 và |z|=2.

Giải:

Ta có: {∣∣z2+z¯∣∣=2|z|=2∣∣z2+z¯∣∣.|z|=4

∣∣z3+|z|2∣∣=4∣∣z3+4∣∣=4

Đặt w=z3 ta được: {|w+4|=4|w|=8

Đặt w=a+bi,(a,bR) ta được:

{|w+4|=4|w|=8{(a+4)2+b2=16a2+b2=64{a=8b=0

Vậy w=8z=2 (thử lại ta thấy thỏa yêu cầu).

Ví dụ 6: Tìm số phức z biết (1+2i)|z|=10z2+i.

Giải:

(1+2i)|z|=10z2+i

10z=|z|+2|z|i+2i

∣∣10z∣∣=||z|+2|z|i+2i|

10|z|2=(|z|+2)2+(2|z|1)2

10=|z|2(|z|2+4|z|+4+4|z|24|z|+1)

10=|z|2(5|z|2+5)|z|2=1|z|=1

Thế lại ta được: 10z=3+iz=310101010i

Series Navigation<< Các hàm số lượng giác và các dạng bài tập hayTóm tắt lý thuyết số phức và bài tập số phức >>