Phương pháp giải toán hình học trên tọa độ Oxy

Đây là phần 51 of 109 trong Series Toán lớp 10

Phương pháp giải toán hình học trên tọa độ Oxy

Bài toán 1 :

Cho tam giác ABC có A(1; 5), B (-3;1) và C(5;1)

a) Tính chu vi, tam giác ABC là tam giác gì ?

b) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

GIẢI.

Độ dài các cạnh :

AB=\sqrt{(-3-1)^2+(1-5)^2}=4\sqrt{2}

AC=\sqrt{(5-1)^2+(1-5)^2}=4\sqrt{2}

BC=\sqrt{(5+3)^2+(1-1)^2}=8

chu vi : C = AB + AC + BC = 4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8=8\sqrt{2}+8

ta có : AB=AC=4\sqrt{2} => tam giác ABC cân tại A

AB2 + AC2 = 32 +32 = 64

BC2 = 82=64

=> BC2 = AB2 + AC2

=> tam giác ABC vuông tại A

Vậy : tam giác ABC vuông cân tại A

b) diện tích : S = AB.AC/2 = 4\sqrt{2}.4\sqrt{2}/2 = 16 (đvdt)

nữa chu vi : p =(4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+8)/2 = 4\sqrt{2}+4

ta có : S =pr => r = S/p = 16/(4\sqrt{2}+4) =4(\sqrt{2}-1)


Bài toán 2 :

Trong mp tọa độ Oxy, cho A(5;1), B(1;-1), C(3;3) .

a) tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

b) tìm tọa độ điểm M biết : ⇔ \overrightarrow {AM}=3\overrightarrow {BC}-2\overrightarrow {CA}

GIẢI.

a) gọi tọa độ điểm D(x; y)

tứ giác ABCD là hình bình hành khi : \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {BC}

ta có : \overrightarrow {AD}=(x-5 ;y-1)

\overrightarrow {BC}=(3-1;3+1)=(2;4)

Nên : \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {BC}\Leftrightarrow \begin{cases} x-5=2 \\ y-1=4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=7 \\ y=5\end{cases}

Vậy : D(7; 5)

b) gọi tọa độ điểm M(x; y)

ta có : \overrightarrow {AM}=(x-5 ;y-1)

\overrightarrow {BC}=(3-1;3+1)=(2;4)

\overrightarrow {CA}=(5-3;1-3)=(2;-2)

\overrightarrow {AM}=3\overrightarrow {BC}-2\overrightarrow {CA}

(x – 5; y – 1 ) =3(2; 4) – 2(2; -2) = (2; 16)

=> x – 5 = 2 và y – 1 = 16

x = 7 và y = 17

vậy : M(7; 17)


Bài toán 3 : 

Trong mp tọa độ Oxy, cho A(5;8), B(-2;1), C(4;3) .

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung để ba điểm B, M, A thẳng hàng

b) Tìm tọa độ điểm N trên Ox để tam giác ABN cân tại N

GIẢI.

  1. a) Gọi tọa độ điểm M thuộc trục tung : M(0; y)

Ta có :

\overrightarrow {AB}=(-2-5 ;1-8)=(-7;-7)

\overrightarrow {AM}=(0-5;y-8)= (-5;y-8)

để ba điểm A, M, B, thẳng hàng khi \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AM} cùng phương. Nên ta có :

  1. -5/-7 = (y-8)/-7

<=> y – 8 = -5

<=> y = 3

Vậy : M(0; 3) thì A, M, B, thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm N thuộc trục hoành : N(x; 0)

để tam giác ABN cân tại N khi : AN = BN

<=> AN2 = BN2

<=>  (x – 5)2 + (-8)2 = (x + 2)2 + (-1)2

<=> x2 – 10x + 25 + 64 = x2 + 4x + 4 + 1

<=> 14x = 84

<=> x = 6

vậy : N(6; 0) thì tam giác ABN cân tại N.


Bài toán 4:

tìm trực tâm của tam giác ứng dụng tích vô hướng :

Trong mp tọa độ Oxy, cho A(5;1), B(1;-1), C(3;3) .

  1. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
  2. Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

GIẢI.

1) Gọi tọa độ điểm H : H(x; y)

Ta có :

\overrightarrow {BC}=(3-1;3+1)=(2;4)

\overrightarrow {AC}=(3-5;3-1)=(-2;2)

\overrightarrow {AH}=(x-5;y-1)

\overrightarrow {BH}=(x-1;y+1)

Do trực tâm H của tam giác ABC. Nên : AH vuông góc BC và BH vuông góc AC :

\begin{cases} \overrightarrow {AH}.\overrightarrow {BC}=0\\ \overrightarrow {BH}.\overrightarrow {AC}=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} (x-5)2+(y-1)4=0 \\ (x-1)(-2)+(y+1)2=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=11/3 \\ y=5/3\end{cases}

Vậy : H(11/3 ; 5/3)

2. gọi tọa độ điểm D(x; y).

\overrightarrow {AD}=(x-5;y-1)

AD vuông góc BC, nên : \overrightarrow {AD}.\overrightarrow {BC}=0

2(x-5) + 4(y-1) =0 <=> x + 2y – 7 = 0 (1)

\overrightarrow {BD}=(x-1;y+1)

Do B; D; C thẳng hàng, nên : \overrightarrow {BD},\overrightarrow {BC} cùng phương. Nên ta có :

(x-1)/2 = (y+1)/4 <=> 2x – 2 = y + 1 <=> 2x – y – 3 = 0 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ :

\begin{cases} x + 2y - 7 = 0 \\ 2x - y - 3 = 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=13/5 \\ y=11/5\end{cases}

Vậy : D(13/5; 11/5)


Bài toán 5:

tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ứng dụng tích vô hướng :

Cho tam giác ABC có A(-1;1); B(1;3); C(1;-1)

 Tìm tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

GIẢI.

Tọa độ trung điểm M của AB :

\begin{cases} x_M=(x_A+x_B):2 =(-1+1):2\\ y_M=(y_A+y_B):2=(1+3):2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=2\end{cases} => M(0; 2)

Tọa độ trung điểm N của AC :

\begin{cases} x_N=(x_A+x_C):2 =(-1+1):2\\ y_N=(y_A+y_C):2=(1-1):2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_N=0 \\ y_N=0\end{cases} => N(0; 0)

gọi tọa độ điểm I(x; y). A(-1;1); B(1;3); C(1;-1)tam duong tron ngoai tiep tam giac

\overrightarrow {MI}=(x;y-2)

\overrightarrow {NI}=(x;y)

\overrightarrow {AB}=(1-1;3-1)=(0;2)

\overrightarrow {AC}=(1+1;-1-1)=(2;-2)

 

tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên :

MI vuông góc AB và NI vuông góc AC :

\begin{cases} \overrightarrow {AB}.\overrightarrow {MI}=0\\ \overrightarrow {AC}.\overrightarrow {NI}=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 0.(x) +2.(y-2)=0 \\ 2x-2y=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=2 \\ y=2\end{cases}

Vậy : tâm I(2; 2) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

 

Series Navigation<< HÀM SỐPhương trình đường ELIP >>