- Công thức giải nhanh trắc nghiệm hình học không gian mới nhất (update)
- Tập hợp các công thức giải nhanh toán hình học lớp 12
- Một số công thức giải nhanh phần thể tích khối chóp
- Công thức giải nhanh hình học không gian Oxyz
- Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì
- Công thức giải nhanh khoảng cách trong hình không gian
- Công thức giải nhanh Hàm số update
- Giải nhanh bài toán tương giao hàm số
- 50 bài toán về hàm số hay lạ khó update
- Tổng hợp kiến thức giải nhanh toán lớp 12
- Tổng hợp công thức ôn THPT quốc gia phần I: Đại Số
- Tổng hợp công thức ôn THPT quốc gia. Phần II: Lượng Giác
- Tổng hợp công thức ôn THPT quốc gia. Phần III: Đạo Hàm - Tích Phân - Hình Học – Nhị Thức NewTon
- Phương pháp giải nhanh Các dạng bài môn Toán
- Công thức giải nhanh tỷ số thể tích cơ bản và nâng cao
- Các dạng bài toán đến khảo sát hàm số và phương pháp giải
- Phương pháp giải trắc nghiệm Toán bằng máy tính cầm tay
- Công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, xác suất và nhị thức Newton
- Công thức mũ và logarit
- Công thức đạo hàm, nguyên hàm – tích phân
- Công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích khối đa diện
- Công thức lượng giác cơ bản và mở rộng
- Công thức giải nhanh trắc nghiệm Toán THPT Quốc gia
- 4 phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm thpt quốc gia
- Tham khảo thêm một số câu số phức khó trong các đề thi thử Toán 2017
- Bài tập trắc nghiệm tọa độ trong không gian (Phần 2)
- Bài tập trắc nghiệm tọa độ trong không gian (Phần 1)
- Một số công thức và phương pháp tính nhanh trắc nghiệm
- Lý thuyết – Công thức – Kỹ thuật tính nhanh trắc nghiệm Toán
- Nguyên Hàm – Tích Phân và Ứng Dụng
- Cực trị hàm số trùng phương
- Cực trị hàm số trùng phương
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
- Phương trình lượng giác hay và khó
- Dạng bài tập phương trình lượng giác hay
- Công thức lượng giác cơ bản
- Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian
- Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Bài tập phương trình tiếp tuyến cơ bản và nâng cao
- Công thức xác định vị trí tương đối trong không gian: đường thẳng, mặt phẳng
- Công thức xác định vị trí tương đối trong không gian: mặt cầu
- Phương trình lượng giác nâng cao lớp 11
- Chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính chất hàm số liên tục
- Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
- Các hàm số lượng giác và các dạng bài tập hay
- Phương pháp giải nhanh phương trình số phức cơ bản và nâng cao
- Tóm tắt lý thuyết số phức và bài tập số phức
- Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số
- Phương pháp tính tích phân - phương pháp đổi biến
- Các dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao
- Các phương pháp tìm nhanh cực trị của hàm số
- Phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính chất hàm số liên tục
- Phương pháp xét tính liên tục của hàm số
- Phương pháp sơ đồ quy tắc đếm - Hoán Vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
- Chuyên đề tổ hợp xác suất luyện thi THPT Quốc gia
- Tuyển tập 132 câu trắc nghiệm toán mang tính phân loại
- Tuyển tập những bài toán khó vận dụng cao
- Tổng hợp lí thuyết toán THPT ngắn gọn, dễ hiểu
- Tổng hợp kĩ thuật xử lí casio
- Tuyển tập những bài toán hay trong đề thi THPT
- Kĩ năng giải toán trắc nghiệm hình học không gian - phần 1
- Kĩ năng giải toán trắc nghiệm hình học không gian - phần 2
- Tư duy nhanh các dạng toán quen thuộc của chuyên đề hàm số
- Phương pháp giải nhanh bài toán tiếp tuyến hàm số với máy tính cầm tay
- Kĩ thuật giải nhanh chuyên đề logaric (phần: Lũy thừa)
- Kĩ thuật giải nhanh chuyên đề logaric (phần: Logaric)
- Kĩ thuật giải nhanh chuyên đề logaric (phần: hàm số lũy thừa - hàm số mũ - hàm số logaric)
- Kĩ thuật giải nhanh chuyên đề logaric (phần: phương trình - bất phương trình mũ)
- Tổng hợp các bài toán hay phần hình học không gian
- Phương pháp giải bài tập khối đa diện hay
- Tổng hợp bài tập xác suất hay
- Bài tập hay chuyên đề tổ hợp - xác suất
- Rèn luyện kĩ năng tiếp cận bài toán xác suất
- Sơ đồ tư duy phương trình lượng giác ngắn gọn, dễ hiểu
- Bài toán cực trị số phức hay và phương pháp giải
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 1)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 2)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 3)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 4)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 5)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 6)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 7)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 8)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 9)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 10)
- Chuyên đề hay và khó trong đề thi THPT quốc gia (Phần 11)
- Công thức tính nhanh đạo hàm cấp cao của các hàm thường gặp
- Kỹ thuật giải tích phân dạng phương trình hàm
- Kỹ thuật giải nhanh câu hỏi vận dụng cao
- Tuyển tập những công thức giải nhanh trắc nghiệm toán
- Bài toán lãi suất ngân hàng và tối ưu hóa
- Bài tập hay dạng lãi suất ngân hàng
- Bài toán tối ưu hay thường gặp
- Hướng dẫn giải chuyên đề hình học không gian
- Kỹ thuật giải nhanh chuyên đề lượng giác
- Kỹ thuật chinh phục bất đẳng thức
- Phân tích những bài toán khó trong đề thi THPT quốc gia
- Kỹ thuật đăth trục giải nhanh hình học
- Công thức giải nhanh hàm bậc nhất/bậc nhất
Phương pháp đổi biến số
Ta biết rằng nếu ∫f(x)dx=F(x)+C thì ∫f(t)dt=F(t)+C.
Từ đó ta có phương pháp để tìm nguyên hàm của những hàm số dạng g(x)=f(u(x))u′(x) bằng cách đặt t=u(x).
Nội dung phương pháp đổi biến số tính: ∫g(x)dx=∫f(u(x))u′(x)dx
Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx (lấy đạo hàm hai vế)
⇒∫g(x)dx=∫f(t)dt=F(t)+C
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin3xcosx
Phân tích: Ta thấy f(x)=sin3xcosx=(sinx)3(sinx)′ nên ta có thể đặt t=sinx.
Giải
t=sinx⇒dt=cosxdx
⇒∫sin3xcosxdx=∫t3dt=t44+C=sin4x4+C (C∈R)
Ví dụ 2: Tính ∫xx2+1−−−−−√dx
Phân tích: xx2+1−−−−−√=(x2+1)12122x=12(x2+1)12(x2+1)′
Giải
Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx
∫xx2+1−−−−−√dx=∫(x2+1)12122xdx=12∫t12dt=t323+C
=(x2+1)323+C=(x2+1)x2+1√3+C (C∈R)
Lưu ý: Ta có thể giải ví dụ 2 như sau:
t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒2tdt=2xdx⇒tdt=xdx
⇒∫xx2+1−−−−−√dx=∫x2+1−−−−−√.xdx=∫t.tdt=∫t2dt
=t33+C=(x2+1√)33+C=(x2+1)x2+1√3+C
Nguyên hàm của một số hàm số hợp đơn giản
1) ∫kdx=kx+C
2) ∫(ax+b)αdx=1a(ax+b)α+1α+1+C(α≠1)
3) ∫dxax+b=1aln|ax+b|+C(x≠0)
4) ∫eax+bdx=1aeax+b+C
5) ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C
6) ∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+C
7) ∫1cos2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+C
8) ∫1sin2(ax+b)dx=−1acot(ax+b)+C
Các bạn có thể chứng minh các công thức trên bằng phương pháp đổi biến và sau này trong quá trình làm bài tập ta có thể áp dụng ngay các công thức nguyên hàm trên mà không phải chứng minh lại.
Phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần áp dụng để tính nguyên hàm của những hàm số f(x) có dạng tích của hai hàm số dạng: f(x)=u(x).v′(x)
Theo công thức đạo hàm của một tích, ta có:
(uv)′=u′v+uv′⇒uv′=(uv)′−vu′
⇒∫uv′dx=∫[(uv)′−u′v]dx=uv−∫u′vdx
Hay ta có: ∫udv=uv−∫vdu
Đây được gọi là công thức tính nguyên hàm từng phần.
Phương pháp nguyên hàm từng phần: Tính ∫f(x)dx=∫u(x).v′(x)dx
Đặt {u=u(x)⇒du=u′(x)dx (lay dao ham hai ve)dv=v′(x)dx⇒v=v(x) (lay nguyen ham hai ve)
⇒∫f(x)dx=uv−∫vdu
Chú ý: Phương pháp nguyên hàm từng phần thường áp dụng cho các hàm số có dạng tích của hai hàm số thuộc các dạng như: đa thức, mũ, lượng giác, logarit.
Chẳng hạn như: ∫P(x).exdx ∫P(x).sinxdx ∫P(x).lnxdx
Với P(x) là một hàm đa thức.
Với dạng này ta cần nhớ thứ tự ưu tiên đặt u là: log, đa, mũ, lượng.
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm: ∫(2x−1)exdx
Phân tích: Hàm số có dạng tích của một đa thức và một hàm mũ. Vậy theo chú ý trên ta sẽ đặt u là đa thức, phần còn lại là dv.
Giải
Đặt {u=2x−1⇒du=2dxdv=exdx⇒v=ex
⇒∫(2x−1)exdx=(2x−1)ex−∫ex2dx=(2x−1)ex−2ex+C
=(2x−3)ex+C
Ví dụ 4: Tính ∫(x2−3x)lnxdx
Giải
{u=lnx⇒du=1xdxdv=(x2−3x)dx⇒v=13x3−32x2
⇒∫(x2−3x)lnxdx=(13x3−32x2)lnx−∫(13x3−32x2)1xdx
=(13x3−32x2)lnx−∫(13x2−32x)dx
=(13x3−32x2)lnx−(16x3−34x2)
BÀI TẬP ÁP DỤNG