Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin3xcosx

Phân tích: Ta thấy f(x)=sin3xcosx=(sinx)3(sinx)′ nên ta có thể đặt t=sinx.

Giải

t=sinx⇒dt=cosxdx

⇒∫sin3xcosxdx=∫t3dt=t44+C=sin4x4+C (C∈R)

Ví dụ 2: Tính ∫xx2+1−−−−−√dx

Phân tích: xx2+1−−−−−√=(x2+1)12122x=12(x2+1)12(x2+1)′

Giải

Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx

∫xx2+1−−−−−√dx=∫(x2+1)12122xdx=12∫t12dt=t323+C

=(x2+1)323+C=(x2+1)x2+1√3+C (C∈R)

Lưu ý: Ta có thể giải ví dụ 2 như sau:

t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒2tdt=2xdx⇒tdt=xdx

⇒∫xx2+1−−−−−√dx=∫x2+1−−−−−√.xdx=∫t.tdt=∫t2dt

=t33+C=(x2+1√)33+C=(x2+1)x2+1√3+C

Nguyên hàm của một số hàm số hợp đơn giản

1) ∫kdx=kx+C

2) ∫(ax+b)αdx=1a(ax+b)α+1α+1+C(α≠1)

3) ∫dxax+b=1aln|ax+b|+C(x≠0)

4) ∫eax+bdx=1aeax+b+C

5) ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C

6) ∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+C

7) ∫1cos2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+C

8) ∫1sin2(ax+b)dx=−1acot(ax+b)+C

Các bạn có thể chứng minh các công thức trên bằng phương pháp đổi biến và sau này trong quá trình làm bài tập ta có thể áp dụng ngay các công thức nguyên hàm trên mà không phải chứng minh lại.

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm: ∫(2x−1)exdx

Phân tích: Hàm số có dạng tích của một đa thức và một hàm mũ. Vậy theo chú ý trên ta sẽ đặt u là đa thức, phần còn lại là dv.

Giải

Đặt {u=2x−1⇒du=2dxdv=exdx⇒v=ex

⇒∫(2x−1)exdx=(2x−1)ex−∫ex2dx=(2x−1)ex−2ex+C

=(2x−3)ex+C

Ví dụ 4: Tính ∫(x2−3x)lnxdx

Giải

{u=lnx⇒du=1xdxdv=(x2−3x)dx⇒v=13x3−32x2

⇒∫(x2−3x)lnxdx=(13x3−32x2)lnx−∫(13x3−32x2)1xdx

=(13x3−32x2)lnx−∫(13x2−32x)dx

=(13x3−32x2)lnx−(16x3−34x2)

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Series Navigation

<< Tóm tắt lý thuyết số phức và bài tập số phứcPhương pháp tính tích phân - phương pháp đổi biến >>