Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Đây là phần 44 of 99 trong Series Công thức giải nhanh và bài tập hay

Tính khoảng cách từ chân đường vuông góc

Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Các bước tính khoảng cáchtinh khoảng cách tu diem den mat phang

Bước 1: Dựng đường cao AK trong tam giác ABC.

Bước 2: Dựng đường cao AH trong tam giác SAK.

Bước 3: Chứng minh AH(SBC) và suy ra d(A,(SBC))=AH.

Bước 4: Tính độ dài AH.

Chú ý: Trước khi dựng đường cao AH cần phải xét tính chất của tam giác ABC để có cách dựng đúng.

  1. Nếu tam giác ABC vuông ở B thì không cần dựng AK vì AB là đường cao. Ta chỉ cần dựng đường cao AH trong tam giác SAB. (tương tự nếu tam giác ABC vuông ở C).
  2. Nếu tam giác ABC đều hoặc cân ở A thì K là trung điểm của BC.

Phương pháp đổi điểm tính khoảng cách

Đây là phương pháp thường sử dụng nhất. Đổi điểm có nghĩa là ta sẽ chuyển từ việc tính khoảng cách từ điểm này sang tính khoảng cách từ một điểm khác dễ dàng hơn. Mà thông thường ta sẽ chuyển về chân đường vuông góc để áp dụng trường hợp trên.

Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Giả sử rằng việc dựng đường vuông góc từ M đến (P) rất khó khăn nhưng ta lại có một điểm N khác M mà việc tính khoảng cách từ N đến (P) có thể dễ dàng thực hiện được. Ta sẽ chuyền bài toán từ tính khoảng cách từ M đến (P) sang tính khoảng cách từ N đến (P). Ta có hai trường hợp sau:truong hop song song tính khoảng cách

Trường hợp 1: MN song song với (P).

Ta sẽ có: d(M,(P))=d(N,(P))

phuong phap doi diem tính khoảng cách

Trường hợp 2: MM cắt (P) tại điểm I.

Trường hợp này ta cần biết được tỉ lệ MINI.

Khi đó ta sẽ có: d(M,(P))d(N,(P))=MINI

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC), SA = 4cm, AB = 3cm, AC = 4cm,
BC = 5cm. Tính d(A, (SBC)).

vi du 1 tinh khoảng cáchPhân tích: Ta thấy AB2+AC2=BC2=25ΔABC vuông tại A.
Vì ΔABC không vuông tại B hoặc C nên ta sẽ dựng 2 đường cao như trong trường hợp trên.

Bài giải
Trong (ABC), dựng AMBC tại M.
Trong (SAM), dựng AHSM tại H.
Ta có:
BCSABCAM}BC(SAM)BCAH
Mà AHSM suy ra AH(SBC).

Vậy d(A, (SBC)) =AH
Trong ∆SAM, ta có1AH2=1SA2+1AM2=1SA2+1AB2+1AC2AH=7217−−√

Ví dụ 2. (ĐH khối D – Năm 2003)
Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến ∆ và vuông góc với nhau. Trên ∆ lấy 2 điểm A, B và C ∈ (P), D ∈ (Q) sao cho ACΔ,BDΔ và AC = AB = a. Tính d(A, (BCD)).

Phân tíchvi du 2 tinh khoang cach
(P)(Q),(P)(Q)=ΔACΔ,AC(P)}AC(Q)
Ta thấy, ΔABDvuông tại B nên ta áp dụng dạng 2 để tính khoảng cách.

Bài giải
Trong (ABC), vẽ AHBCtại H
Ta có BDAB,DBACDB(ABC)DBAH
Suy ra AH(BCD)
Vậy d(A,(BCD))= AH
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có 1AH2=1AB2+1AC2=2a2AH=a2

Ví dụ 3. (ĐH khối B – Năm 2013)

Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh AB = a. (SAB)(ABCD),ΔSAB đều. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD).

vi du 3 tinh khoảng cáchBài giải

Gọi H là trung điểm AB

Ta có SHAB

Vì (SAB)(ABCD)SH(ABCD)

và SH=a32

Vì AB//CDd(A,(SCD))=d(H,(SCD))

Gọi E là trung điểm CD

Trong mp(SHE), dựng HKSE

Mặt khác, ta có HECDSHCD}CD(SHE)CDKH

HK(SCD). Vậy d(H,(SCD)) = HK

Trong tam giác vuông SHE, ta có 1HK2=1SH2+1HE2=73a2HK=a217

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, (SBC)(ABC), AB = 3a, BC = 4a, SB=2a3–√,SBCˆ=300. Tính d(B, (SAC)).

Bài giải vi du 4 tinh khoảng cách

Kẻ SHBC tại H.

(SBC)(ABC)SH(ABC)

Trong tam giác vuông SHB, ta có cos300=BHSBBH=3a,CH=a

Mà BH(SAC)=CCBCH=4

Mà  CBCH=d(B,(SAC))d(H,(SAC))=4d(B,(SAC))=4.d(H,(SAC))

Tính d(H, (SAC))

Trong mp(HAC), kẻ HEAC mà SHACAC(SHE)(SAC)(SHE)

Trong mp(SHE), dựng HKSEHK(SAC)

Vậy d(H, (SAC)) = HK

Ta có ΔABCΔHECABHE=ACHCHE=3a5

Ta tính được HK=3a28

Vậy d(B, (SAC)) = 4HK = 6a7

Series Navigation<< Chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính chất hàm số liên tụcCác hàm số lượng giác và các dạng bài tập hay >>