Phương pháp tính tích phân - phương pháp đổi biến

Đây là phần 49 of 99 trong Series Công thức giải nhanh và bài tập hay

Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạna;b và giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn a;b. Khi đó hiệu F(b)F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).

Tích phân từ a đến b của f(x) được ký hiệu là: abf(x)dx

Ta có: abf(x)dx=F(b)F(a) (với F(x) là một nguyên hàm của f(x))

Ta thường sử dụng ký hiệu F(x)∣∣∣ba để chỉ hiệu F(b)F(a).

Vậy ta có: abf(x)dx=F(x)∣∣∣ba=F(b)F(a)

Ví dụ 1F(x)=x2 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=2x trên đoạn1;2 nên tích phân từ 1 đến 2 của f(x) là F(2)F(1)=2212=3.

Vậy ta có: 122xdx=x2∣∣∣21=2212=3

Lưu ý: Ta biết rằng nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trêna;b thì F(x)+C (với C là một số thuộc R) cũng là một nguyên hàm của f(x) trêna;b. Vậy nếu ta sử dụng F(x)+C để tính tích phân từ a đến b của f(x) thì có khác so với sử dụng F(x) hay không? Câu trả lời là không có gì khác bởi vì:

(F(b)+C)(F(a)+C)=F(b)+CF(a)C=F(b)F(a)

Vậy khi tính tích phân của f(x) ta có thể sử dụng nguyên hàm là F(x) hoặc F(x)+C tùy ý. Tuy nhiên để tránh phức tạp thì ta thường sử dụng F(x) (trừ một số trường hợp đặc biệt).

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

a) 01(3x2+x)dx=(x3+x22)∣∣∣10=(13+122)(03+022)=32

b) 0π2sinxdx=cosx∣∣∣π20=(cosπ2)(cos0)=1

c) 1e1xdx=ln|x|∣∣∣e1=ln1lne=1

Lưu ý: Ta có một số quy ước sau:

1) aaf(x)dx=0

2) abf(x)dx=baf(x)dx

Tính chất của tích phân

Tính chất 1: Với k là một hằng số thì ta có tính chất sau:

abkf(x)dx=kabf(x)dx

Nghĩa là ta có thể đưa hằng số k ra ngoài dấu tích phân.

Ví dụ 3124x2dx=4121x2dx=4[(1x)∣∣∣21]=4[(12)(11)]=2

Tính chất 2: Ta có thể tách tích phân từ a đến b của một tổng hay một hiệu thành tổng hoặc hiệu của hai tích phân.

ab[f(x)±g(x)]dx=abf(x)dx±abg(x)dx

Ví dụ 40π4(x+cosx)dx=0π4xdx+0π4cosxdx=x22∣∣∣π40+sinx∣∣∣π40=π232+22

Tính chất 3: Với một số c nằm giữa a và b thì ta có thể tách tích phân từ a đến bthành tổng của hai tích phân từ a đến c và từ c đến b.

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx với a<c<b.

Tính chất này thường áp dụng để tính các tích phân có dấu trị tuyệt đối.

Ví dụ 5: Tính tích phân: I=02|x1|dx

Phân tích: Ta có bảng xét dấu của x1 trên đoạn0;2

bang xet dau x-1

Trên đoạn0;1 thì x10 nên |x1|=1x.

Trên đoạn1;2 thì x10 nên |x1|=x1.

Giải

I=02|x1|dx=01|x1|dx+12|x1|dx

=01(1x)dx+12(x1)dx=(xx22)∣∣∣10+(x22x)∣∣∣21=1

Lưu ý: Trong ví dụ 4 ta có thể không cần quan tâm đến dấu của x1 mà chỉ cần đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân. Ta sẽ giải như sau:

02|x1|dx=01|x1|dx+12|x1|dx

=∣∣∣01(x1)dx∣∣∣+∣∣∣12(x1)dx∣∣∣=∣∣∣(x22x)∣∣∣10∣∣∣+∣∣∣(x22x)∣∣∣21∣∣∣

=∣∣12∣∣+∣∣12∣∣=1

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tính các tích phân sau:

1) 01(5x4x2+3)dx          2) 01(2x2)4dx

3) 02ex+5dx                           4) 1032x+1dx

5) 0π8cos22xdx                         6) 122x35x2x2dx

7) 14|x2|dx                         8) 01∣∣e2x11∣∣dx

Series Navigation<< Phương pháp tìm nguyên hàm của hàm sốCác dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao >>