Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn

Đây là phần 11 of 109 trong Series Toán lớp 10

 

Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn

A. Lý thuyết về Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn

1. Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

  • a≠ 0 : (1) có nghiệm duy nhất x = .
  • a = 0; b ≠ 0; (1) vô nghiệm.
  • a=0; b = 0: (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
  • Ghi chú: Phương trình ã + b = 0 với a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn (x)

2. Phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c= 0 (a ≠ 0)

∆ = b2 -4ac được gọi là biệt thức của phương trình (2).

+ ∆ > 0 thì (2) có nghiệm phân biệt x1,2 

+ ∆ = 0 thì (2) có 2 nghiệm kép x = -

+  ∆ < - thì (2) vô nghiệm.

3. Định lí Vi-ét

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c= 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1,  x2 thì 

x+ x= ,  x1x2=

Đảo lại: Nếu hai số u và v có tổng u + v =S và tích u.v = P thì u, v là các nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P = 0.

4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là đặt các điều kiện xác định để đưa phương trình có dấu giá trị tuyệt đối thành phương trình không dấu giá trị tuyệt đối.

5. Phương trình chứa dấu căn

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là đặt điều kiện rồi lũy thừa một cách thích hợp hai vế của phương trình để làm mất dấu căn thức.

B. Lý thuyết về Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình chứa căn

Bài 1 trang 62 sgk đại số 10

Bài 1 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình:

Giải bài 1 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Lời giải:

a) Điều kiện: 2x + 3 ≠ 0

Giải bài 1 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

⇔ 4(x2 + 3x + 2) = (2x - 5)(2x + 3)

⇔ 16x = -23

Giải bài 1 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

b) Điều kiện: x ≠ ±3

Giải bài 1 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

⇔ (2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3) = 24 + 2(x2 - 9)

⇔ 5x = -15

⇔ x = -3 (loại)

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Điều kiện: 3x - 5 ≥ 0

Giải bài 1 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Bình phương hai vế của phương trình ta có:

        3x - 5 = 9

Giải bài 1 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

d) Điều kiện: 2x + 5 ≥ 0

Giải bài 1 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Bình phương hai vế của phương trình ta có:

        2x + 5 = 4

Giải bài 1 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 1. Giải các phương trình

a)  = ;

b)  + 2;

c) = 3;

d)  = 2.

Hướng dẫn giải:

a) ĐKXĐ: 

2x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 

Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung thì được

4(x2 + 3x + 2) = (2x – 5)(2x + 3) => 12x + 8 = - 4x - 15

                                                         =>  x = -  (nhận).

b) ĐKXĐ: x ≠ ± 3. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thì được

(2x + 3)(x + 3) - 4(x - 3) = 24 + 2(x-9)

=> 5x = -15 => x = -3 (loại). Phương trình vô nghiệm.

c) Bình phương hai vế thì được: 3x - 5 = 9 => x = (nhận).

d) Bình phương hai vế thì được: 2x + 5 = 4 => x = - 

Bài 2 trang 62 sgk đại số 10

Bài 2 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) m(x - 2) = 3x + 1 ;

b) m2x + 6 = 4x + 3m ;

c) (2m + 1)x - 2m = 3x - 2.

Lời giải:

a) m(x - 2) = 3x + 1

⇔ (m - 3)x = 1 + 2m     (1)

- Nếu m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Giải bài 2 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

- Nếu m - 3 = 0 ⇔ m = 3 thì (1) ⇔ 0x = 7

=> phương trình vô nghiệm

b) m2x + 6 = 4x + 3m

⇔ (m2 - 4)x = 3m - 6     (2)

- Nếu m2 - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2 thì phương trình có nghiệm duy nhất

Giải bài 2 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

- Nếu m2 - 4 = 0 ⇔ m = ±2

    + Với m = 2 thì (2) ⇔ 0x = 0 => phương trình có vô số nghiệm

    + Với m = -2 thì (2) ⇔ 0x = -12 => phương trình vô nghiệm

c) (2m + 1)x - 2m = 3x - 2

⇔ 2mx + x - 2m - 3x + 2 = 0

⇔ 2mx - 2x - 2m + 2 = 0

⇔ (m - 1)x - (m - 1) = 0

⇔ (m - 1)(x - 1) = 0

- Nếu m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 thì (3) tương đương với:

x - 1 = 0 => x = 1

- Nếu m - 1 = 0 ⇔ m = 1 thì (3) ⇔ 0x = 0

=> phương trình có vô số nghiệm

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a) m(x - 2) = 3x + 1;

b) m2x + 6 = 4x + 3m;

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.

Hướng dẫn giải:

a) ⇔ (m – 3)x = 2m + 1.

  • Nếu m ≠ 3 phương trình có nghiệm duy nhất x = 
  • Nếu m = 3 phương trình trở thành 0x = 7. Vô nghiệm.

b) ⇔ (m2 – 4)x = 3m – 6.

  • Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2, có nghiệm x = 
  • Nếu m = 2, phương trình trở thành 0x = 0, mọi x ∈ R đều nghiệm đúng phương trình.
  • Nếu m = -2, phương trình trở thành 0x = -12. Vô nghiệm.

c) ⇔ 2(m – 1)x = 2(m-1).

  • Nếu m ≠ 1 có nghiệm duy nhất x = 1.
  • Nếu m = 1 mọi x ∈ R đều là nghiệm của phương trình

Bài 3 (trang 62 SGK Đại số 10): Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi x là số quýt ở mỗi rổ (x > 30; x ∈ N).

Khi lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì:

- Rổ thứ nhất còn x – 30 (quả)

- Rổ thứ hai có x + 30 (quả)

Theo đề bài ta có phương trình:

Giải bài 3 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

⇔ 3(x + 30) = (x - 30)2

⇔ x2 - 63x + 810 = 0

⇔ x = 18 (loại) hoặc x = 45 (thỏa mãn)

Vậy ban đầu mỗi rổ có 45 quả quýt.

 Bài 4 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

a) 2x4 - 7x2 + 5 = 0 ;         b) 3x4 + 2x2 - 1 = 0

Lời giải:

a) 2x4 - 7x2 + 5 = 0 (1)

Đặt t = x2 (Điều kiện: t ≥ 0)

Khi đó (1) ⇔ 2t2 - 7t + 5 = 0

Giải bài 4 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

- Với t = 1 ta có: x2 = 1 ⇔ x = ±1

Giải bài 4 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

b) 3x4 + 2x2 - 1 = 0 (2)

Đặt t = x2 (Điều kiện: t ≥ 0)

Khi đó (2) ⇔ 3t2 + 2t - 1 = 0

Giải bài 4 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy phương trình có hai nghiệm:

Giải bài 4 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 5 (trang 62 SGK Đại số 10): Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)

a) 2x2 - 5x - 4 = 0 ;         b) -3x2 + 4x + 2 = 0

c) 3x2 + 7x + 4 = 0 ;         d) 9x2 - 6x - 4 = 0.

ướng dẫn cách giải câu a): Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím

Giải bài 5 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

màn hình hiện ra x1 = 3.137458609

Ấn tiếp

Giải bài 5 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là x1 ≈ 3.137 và x2 ≈ -0.637.

Lời giải:

a) Cách giải ở trên, kết quả:

    x1 ≈ 3.137 và x2 ≈ -0.637

b) Ấn liên tiếp các phím

Giải bài 5 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

và sau đó ấn phím =.

c) Ấn liên tiếp các phím

Giải bài 5 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

và sau đó ấn phím =.

Kết quả làm tròn: x1 ≈ -1 và x2 ≈ -1,333

d) Ấn liên tiếp các phím

Giải bài 5 trang 62 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

và sau đó ấn phím =.

Kết quả đã làm tròn: x1 ≈ 1,079 và x2 ≈ -0,412

Bài 6 trang 62 sgk đại số 10

Bài 7 (trang 63 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

Giải bài 7 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Lời giải:

a)

Giải bài 7 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy phương trình có nghiệm x = 15.

b) Điều kiện: -2 ≤ x ≤ 3

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

Giải bài 7 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

c)

Giải bài 7 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy phương trình có hai nghiệm:

Giải bài 7 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

d) Điều kiện:

Giải bài 7 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

4x2 + 2x + 10 = (3x + 1)2

4x2 + 2x + 10 = 9x2 + 6x + 1

5x2 + 4x - 9 = 0

Giải bài 7 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

 Bài 8 (trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Lời giải:

iả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 với x2 = 3x1

Theo định lí Vi-ét ta có:

Giải bài 8 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

⇔ -3m2 + 30 m - 63 = 0

⇔ m2 - 10 m + 21 = 0

⇔ m1 = 3 ; m2 = 7

- Thay m = 3 vào x1, x2 ở trên ta được hai nghiệm là:

Giải bài 8 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

- Thay m = 7 vào x1, x2 ở trên ta được hai nghiệm là:

Giải bài 8 trang 63 sgk Đại số 10 | Để học tốt Toán 10

Bài 6. Giải các phương trình.

a) |3x – 2| = 2x + 3;

b) |2x -1| = |-5x – 2|;

c) 

d) |2x + 5| = x2 +5x +1.

Hướng dẫn giải:

a) ĐKXĐ: 2x + 3 ≥ 0. Bình phương hai vế thì được:

(3x – 2)2 = (2x + 3)2 => (3x - 2)2 – (2x + 3)2 = 0

⇔ (3x -2 + 2x + 3)(3x – 2 – 2x – 3) = 0 

=> x1 = (nhận), x2 = 5 (nhận)

Tập nghiệm S = { 5}.

b) Bình phương hai vế:

(2x – 1)2 = (5x + 2)2 => (2x - 1 + 5x + 2)(2x – 1 – 5x – 2) = 0

=> x1 =  x2 = -1.

c) ĐKXĐ: x ≠ x ≠ -1. Quy đồng rồi khử mẫu thức chung

(x – 1)|x + 1| = (2x – 3)(-3x + 1)

  •  Với x ≥ -1 ta được: x2 – 1 = -6x2 + 11x – 3 => x
    x2 = 
  •  Với x < -1 ta được: -x2 + 1 = -6x2 + 11x – 3 => x1 = (loại vì không thỏa mãn đk x < -1); x2 = (loại vì x > -1)

Kết luận: Tập nghiệm S = {; 

d) ĐKXĐ: x2 +5x +1 > 0

  • Với x ≥  ta được: 2x + 5 = x2 + 5x + 1
    => x1 = -4 (loại); x2 = 1 (nhận)
  • Với x < ta được: -2x – 5 = x2 + 5x + 1

=> x1 =-6 (nhận); x2 = -1 (loại).

 

Kết luận: Tập nghiệm S = {1; -6}

 

 

 

Series Navigation<< Lý thuyết và bài tập về phương trình Toán lớp 10Lý thuyết và bài tập về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn - Toán lớp 10 >>