Ôn tập mệnh đề tập hợp

Ôn tập lý thuyết và bài tập Chuyên đề Mệnh Đề tập hợp trong chương trình toán 10: Mệnh đề đảo, Mệnh đề phủ định, Mệnh đề chứa biến, Các phép toán tập hợp...

Tham khảo:

1. Định nghĩa mệnh đề

Mệnh đề là câu khẳng định để xác định được tính đúng hoặc sai. Một mệnh đề chỉ có tính đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai

2. Một mệnh đề chứa biến phải là câu khẳng định sự đúng hay sai.

Ví dụ câu sau đây không phải là mệnh đề “Số nguyên n chia hết cho 2” , vì không thể xác định được nó đúng hay sai.

Nhưng nếu ta gán cho n giá trị n= 4 thì ta có thể có một mệnh đề đúng.

Và nếu gán cho n giá trị n=5 thì ta có một mệnh đề sai.

3. Phủ định của một mệnh đề

Phủ định của một mệnh đề là một mệnh đề và chúng có giá trị trái ngược nhau. Nếu mệnh đề A đúng thì phủ định của A sai và ngược lại.

4. Mệnh đề kéo theo

Định nghĩa mệnh đề kéo theo:Nếu (mệnh đề) A thì (mệnh đề) B. Kí hiệu là A =>B.

Mệnh đề A => B chỉ sai khi A đúng và B sai.

5. Mệnh đề đảo

Mệnh đề “B=>A” được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề A => B.

6. Mệnh đề tưởng đương

Nếu A => B là một mệnh đề đúng và đồng thời mệnh đề B => A cũng là một mệnh đề đúng thì ta nói A tương đương với B, kí hiệu: A <=> B.

Khi A <=> B, thì ta nói A là điều kiện cần và đủ để có B; hoặc A khi và chỉ khi B hay A nếu và chỉ nếu B.

7. Các kí hiệu ∀, kí hiệu ∃

Cho mệnh đề chứa biến: Q(x), trong đó x là biến nhận giá trị từ tập hợp X.

– Câu khẳng định: Với x bất kì tuộc X thì Q(x) là mệnh đề đúng được kí hiệu là: ∀ x ∈ X : Q(x).

– Câu khẳng định: Có ít nhất một x ∈ X (hay tồn tại x ∈ X) để Q(x) là mệnh đề đúng kí hiệu là ∃ x ∈ X : Q(x).

8. Khái niệm tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa) của toán học. Các tập hợp thường được kí hiệu bằng những chữ cái in hoa: A,B,...,X,Y. Các phần tử của tập hợp được kí hiệu bằng các chữ in thường a,b,...,x,y. Kí hiệu aA để chỉ a là một phần tử của tập hợp hay a thuộc tập hợp A. Ngược lại aA để chỉ a không thuộc A.

Một tập hợp có thể được cho bằng cách liệt kê các phần tử của nó hoặc được cho bằng cách nêu tính chất đặc trưng của các phân tử của nó.

Ví dụ: A={1,2}hay A={xR/x23x+2=0}. Một tập hợp không có phân tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu Ø .

9. Biểu đồ Ven

Để minh họa một tập hợp người ta dùng một đường cong khép kín giới hạn một phần mặt phẳng. Các điểm thuộc phần mặt phẳng này chỉ các phần tử của tập hợp ấy.

10. Tập hợp con

Ta gọi A là tập hợp con của B, kí hiệu ABxAxB

11. Hai tập hợp bằng nhau

Hai tập hợp AA và BB bằng nhau, kí hiệu A=BA=B, nếu tất cả các phần tử của chúng như nhau

A=BAB và BA

12.Bài tập

Bài 1. Trong các phát biểu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến

a. Số 11 là số chẵn.                                  b. Bạn có chăm học không?

c. Huế là một thành phố của Việt Nam.      d. 2x + 3 là một số nguyên dương.

e. 4 + x = 3.                                             f. Hãy trả lời câu hỏi này!

g. Paris là thủ đô nước Ý.                         h. Phương trình x² – x + 1 = 0 có nghiệm.

i. 13 là một số nguyên tố.                          j. x² + 1 không phải số nguyên tố.

Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích.

a. Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3.           b. Nếu a ≥ b thì a² ≥ b².

c. Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6.           d. π > 2 và π < 4.

e. 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.                 f. 81 là số chính phương.

g. 5 > 3 hoặc 5 < 3.                                              h. Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? Giải thích.

a. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

b. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.

c. Tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi có hai đường trung tuyến bằng nhau và một góc bằng 60°.

d. Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.

e. Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.

f. Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.

g. Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

h. Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

Bài 4. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với số thực x. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng nếu

a. P(x): "x² – 5x + 4 = 0"                  b. P(x): "x² – 3x + 2 > 0"

c. P(x): "2x + 3 ≤ 7"                         d. P(x): "x² + x + 1 > 0"

Bài 5. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a. Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3.

b. Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.

c. Tứ giác ABCD có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

d. Số tự nhiên n chỉ có 2 ước số là 1 và n.

Bài 6. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a. ∀x ∈ R, x² > 0.                                          b. Bài tập Toán lớp 10 chương 1: Mệnh đề - Tập hợp∈ R, x > x².

c. Bài tập Toán lớp 10 chương 1: Mệnh đề - Tập hợp∈ Q, 4x² – 1 = 0.                                 d. ∀x ∈ R, x² – x + 7 > 0.

e. ∀x ∈ R, x² – x – 2 < 0.                              f. Bài tập Toán lớp 10 chương 1: Mệnh đề - Tập hợp∈ R, x² = 3.

g. ∀x ∈ N, n² + 1 không chia hết cho 3.          h. ∀x ∈ N, n² + 2n + 5 là số nguyên tố.

i. ∀x ∈ N, n² + n chia hết cho 2.                     k. ∀x ∈ N, n² – 1 là số lẻ.

Bài 7. Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai

a. P: "Phương trình x² – x + 1 = 0 có nghiệm."

b. Q: "17 là số nguyên tố"

c. R: "Số 12345 chia hết cho 3"

d. S: "Số 39 không thể biểu diễn thành tổng của hai số chính phương"

e. T: "210 – 1 chia hết cho 11".

Bài 8. Phát biểu các mệnh đề sau sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ":

a. Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.

b. Nếu a + b > 0 thì một trong hai số a và b phải dương.

c. Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

d. Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n² là số lẻ.

e. Nếu a và b đều chia hết cho c thì a + b chia hết cho c.

f. Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.

g. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

h. Nếu tứ giác là hình thoi thì có hai đường chéo vuông góc với nhau.

i. Nếu tam giác đều thì nó có hai góc bằng nhau.

j. Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

k. Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.

l. Một tứ giác nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.

m. Hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là hình vuông và ngược lại.

n. Tam giác có ba đường cao bằng nhau là tam giác đều và ngược lại.

p. Một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và ngược lại.

Bài 9. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng.

a. Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.

b. Một tam giác không phải là tam giác đều thì có ít nhất một góc nhỏ hơn 60°.

c. Nếu x ≠ –1 và y ≠ –1 thì x + y + xy ≠ –1.

d. Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

e. Nếu x² + y² = 0 thì x = 0 và y = 0.

Bài 10. Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử trong đó.

a. A = {x ∈ R | (2x² – 5x + 3)(x² – 4x + 3) = 0}

b. B = {x ∈ Z | 2x² – 5x + 3 = 0}

c. C = {x ∈ N | x + 3 < 4 + 2x và 5x – 3 < 4x – 1}

d. D = {x ∈ Z | –1 ≤ x + 1 ≤ 1}

e. E = {x ∈ R | x² + 2x + 3 = 0}

f. F = {x ∈ N | x là số nguyên tố không quá 17}

Bài 11. Viết các tập hợp sau bằng cách chỉ rõ tính chất đặc trưng

a. A = {0; 4; 8; 12; 16}                       b. B = {–3; 9; –27; 81}

c. C = {9; 36; 81; 144}                       d. D = {3, 6, 9, 12, 15}

e. E = Tập hợp các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

f. H = Tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm I cho trước và có bán kính bằng 5.

Bài 12. Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau

a. A = {1; 2; 3}                                      b. B = {a; b; c; d}

c. C = {x ∈ R | 2x² – 5x + 2 = 0}             d. D = {x ∈ Q | x² – 4x + 2 = 0}

Bài 13. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập con của tập nào?

a. A = {1; 2; 3} và B = [1; 4).

b. A = tập các ước số tự nhiên của 6 và B = tập các ước số tự nhiên của 12.

c. A = tập các hình bình hành và B = tập các hình chữ nhật.

Bài 14. Tìm A ∩ B, A U B, A \ B, B \ A.

a. A = {2, 4, 7, 8, 9, 12}, B = {2, 8, 9, 12}

b. A = {2, 4, 6, 9}, B = {1, 2, 3, 4}

c. A = {x ∈ R | 2x² – 3x + 1 = 0}, B = {x ∈ R | (2x – 1)² = 1}

d. A = tập các ước số của 12, B = tập các ước số của 18.

e. A = {x ∈ R | (x + 1)(x – 2)(x² – 8x + 15) = 0}, B = tập hợp các số nguyên tố có một chữ số.

f. A = {x ∈ R | (x² – 9)(x² – 5x – 6) = 0}, B = {x ∈ R | x ≤ 5}.

Bài 15. Tìm tất cả các tập hợp X sao cho

Bài tập Toán lớp 10 chương 1: Mệnh đề - Tập hợp

Bài 16. Tìm các tập hợp A, B thỏa mãn các điều kiện

a. A ∩ B = {0; 1; 2; 3; 4}, A\B = {–3; –2}, B\A = {6; 9; 10}.

b. A ∩ B = {1; 2; 3}, A\B = {4; 5}, B\A = {6; 9}

Bài 17. Tìm A U B U C, A ∩ B ∩ C với

a. A = [1; 4], B = (2; 6), C = (1; 2)               b. A = (–∞; –2], B = [3; +∞), C = (0; 4)

c. A = [0; 4], B = (1; 5), C = (−3; 1]             d. A = (−5; 1], B = [3; +∞), C = (−∞; −2)

e. A = [3; +∞), B = (0; 4), C = (2; 3)             f. A = (1; 4), B = (2; 6), C = (5; 7]

Bài 18. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e}

a. A có bao nhiêu tập hợp con khác nhau.

b. Có bao nhiêu tập con của A có không quá 4 phần tử.

Bài 19. Tìm A ∩ B; A U B; A \ B; B \ A; biết

a. A = (2; +∞) và B = (–11; 5).                  b. A = (–∞; 3] và B = (–2; 12).

c. A = [–3; 16] và B = (–8; 10).                d. A = [–11; 9] và B = [–9; 19)

e. A = [2; 6] và B = [3; 5].                       f. A = {x ∈ Q| 1 ≤ x ≤ 4} và B = {3; 4; 5}

Bài 20. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số

a. [–3; 1) ∩ (0; 4]         b. (–∞; 1) U (–2; 3)          c. (–2; 3) \ (0; 7)

d. (–2; 3) \ [0; 7)          e. R \ (3; +∞)                   f. R \ {1}

g. R \ (0; 3]                 h. [–3; 1] \ (–1; +∞)          i. R ∩ [(–1; 1) U (3; 7)]

j. [– 3;1) U (0; 4]          k. (0; 2] U [–1; 1]             ℓ. (–∞; 12) U (–2; +∞)

m. (–2; 3] ∩ [–1; 4]      n. (4; 7) ∩ (–7; –4)           o. (2; 3) ∩ [3; 5)

p. (–2; 3) \ (1; 5)          q. R \ {2}

Bài 21. Cho A = (2m – 1; m + 3) và B = (–4; 5). Tìm m sao cho

a. A là tập hợp con của B     b. B là tập hợp con của A       c. A ∩ B = ϕ

Bài 22. Tìm phần bù của các tập sau trong tập R

a. A = [–12; 10)                   b. B = (–∞; –2) U (2; +∞)         c. C = {x ∈ R | –4 < x + 2 ≤ 5}