TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ

Đây là phần 58 of 115 trong Series Toán lớp 10

TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ

1. Định nghĩa :

Với k ≠ 0 và \overrightarrow {a} ≠ 0.

Ta có : k. \overrightarrow {a}=\overrightarrow {a}+\ldots+\overrightarrow {a} với k hạng tử.

  • Nếu k > 0 thì : k. \overrightarrow {a} cùng hướng \overrightarrow {a}.
  • Nếu k < 0 thì : k. \overrightarrow {a} ngược hướng \overrightarrow {a}.

Quy ước :

  • 0. \overrightarrow {a}=\overrightarrow {0}
  • k. \overrightarrow {0}=\overrightarrow {0}

2. Tính chất :

  1. k(\overrightarrow {a} + \overrightarrow {b}) = k\overrightarrow {a} + k\overrightarrow {b} .
  2. (k+h)\overrightarrow {a} = k\overrightarrow {a} + h\overrightarrow {a} .
  3. h(k \overrightarrow {a}) = (hk) \overrightarrow {a} .
  4. 1. \overrightarrow {a} = \overrightarrow {a} .
  5. (-1). \overrightarrow {a} = -\overrightarrow {a} .

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác :

  • I là Trung điểm của đoạn thẳng AB , mọi M : \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} .
  • G trọng tâm tam giác ABC , mọi M : \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} +\overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} .

4. Điều kiện hai vectơ cùng phương :

\overrightarrow {a} // \overrightarrow {b} <=> \overrightarrow {a} = k\overrightarrow {b}

Lưu ý : A, B C thẳng hàng khi : \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương :

\overrightarrow {x}= k\overrightarrow {a} + k\overrightarrow {b} với \overrightarrow {a} , \overrightarrow {b} không cùng phương.

=======================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 1 TRANG 17 SGK CB :

Cho  ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng :

\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} +\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC}

GIẢI.

Ta có : ABCD là hình bình hành => \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}

Ta lại có :

\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} +\overrightarrow {AD}=(\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD})+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AC} =2\overrightarrow {AC} -> đpcm.

BÀI 2 TRANG 17 SGK CB :

Cho AK , BM là hai đường trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ \overrightarrow {AB}\overrightarrow {BC}\overrightarrow {CA}, theo \overrightarrow {u}=\overrightarrow {Ak} và \overrightarrow {v}=\overrightarrow {BM}

GIẢI.

\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AK}= 2\overrightarrow {u} (AK là đường trung tuyến)

\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM}=2\overrightarrow {v}(BM là đường trung tuyến)

\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} (quy tắc 3 điểm)

Ta được :

-\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {v}

2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {u}

Vậy :

\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}(\overrightarrow {u}-\overrightarrow {v})

\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {u}+\frac{4}{3}\overrightarrow {v}

=>\overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {u}+\frac{2}{3}\overrightarrow {v}

=>\overrightarrow {CA} =-(\frac{4}{3}\overrightarrow {u}+\frac{2}{3}\overrightarrow {v})

——————————————————

BÀI 6 TRANG 17 SGK CB :

Cho hai điểm A và B phân biệt. tìm K sao cho :

3\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {0}

GIẢI.

Cách 1 :

3\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {0}

<=> 3(\overrightarrow {KB}+\overrightarrow {BA})+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow {0} (quy tắc 3 điểm)

<=> 5\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {BA}=\overrightarrow {0}

<=> -5\overrightarrow {KB} = 3\overrightarrow {BA}

<=> 5\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BA}

Vậy :  \overrightarrow {BK} = \frac{3}{5}\overrightarrow {BA}. A |——|——|-K—-|——|——| B

Cách 2 :

3\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {0}

<=> 3\overrightarrow{KA} + 2(\overrightarrow {KA}+\overrightarrow {AB}) = \overrightarrow {0} (quy tắc 3 điểm)

<=> 5\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {0}

<=> -5\overrightarrow {KA} = 2\overrightarrow {AB}

<=> 5\overrightarrow {AK} = 2\overrightarrow {AB}

Vậy :  \overrightarrow {AK} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB}.  A |——|——|-K—-|——|——| B

Series Navigation<< Tìm hiểu về hệ trục tọa độVéctơ – tổng và hiệu hai véctơ. >>