Tích vô hướng: Lý thuyết và bài tập

Tích vô hướng là một trong những khái niệm sẽ đi với chúng ta suốt 3 năm cấp ba. Bài viết dưới đây sẽ cho ta biết được khái quát khái niệm tích vô hướng và những bài tập liên quan:

Tìm hiểu thêm về tích vô hướng tại đây:

I.Khái niệm tích vô hướng

1. Định nghĩa:

a) Góc giữa hai vectơ.

 Cho hai vectơ \overrightarrow{a}  và \overrightarrow{b}  đều khác \overrightarrow{0} . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ \overrightarrow{OA}  = \overrightarrow{a}  và \overrightarrow{OB}  = \overrightarrow{b} . Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a}  và \overrightarrow{b} .

+ Quy ước : Nếu \overrightarrow{a}  = \overrightarrow{0}  hoặc \overrightarrow{b}  = \overrightarrow{0}  thì ta xem góc giữa hai vectơ \overrightarrow{a}  và \overrightarrow{b}  là tùy ý (từ 0^{0}  đến 180^{0} ).

+ Kí hiệu: (\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} )

Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ

II. Các dạng bài tập về tích vô hướng:

DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ.

Bài 1.Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính góc giữa các vec tơ sau:

Bài 2. (B2 –SGK HH10) Cho AOB l tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và

AK. Giả sử góc 

b. Tính AK và OK theo a và a.

Bài 3. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Tính góc giữa:

Bài 4. (B6 –SGK HH10) Cho hình vuông ABCD. Tính: 

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Xác định góc giữa các cặp vecto sau:

DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng

Bài 1. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh: .  

Bài 2. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì.

a) Chứng minh: 

b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".

Bài 3. ( Công thức hình chiếu)

Cho hai vectơ . Gọi B' là hình chiếu của B trên đường thẳng OA. Chứng minh rằng:  (Công thức hình chiếu)

Bài 4. Cho tam giác ABC.  và M là một điểm bất kỳ

1. Chứng minh rằng: 

2. Gọi G là trọng tâm tam giác chứng minh: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.

3. Suy ra  với a; b; c là độ dài 3 cạnh của tam giác.

DẠNG 3: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Bài 1. Cho tam giác ABC có A(10; 5), B(3;2), C(6; -5).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính tích vô hướng 

c) Tìm toạ độ điểm M biết 

d) Tam giác ABC là hình gì?

Bài 2. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a) Tính . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

b) Tính chu vi, diện tích tam gic ABC.

c) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.

d) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.

Bài 3. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.

b) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.

c) Tìm toạ độ điểm T thoả 

d) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.

Bài 4. Cho tam giác ABC có  A(1; -1), B(5; -3), C(2; 0).

a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC

.

Bài 5. Trên mặt phẳng hãy tìm góc giữa hai vta và vtb trong các trường hợp sau: