Tổ hợp xác suất trong đề thi thử 2018

Đây là phần 106 of 146 trong Series Toán lớp 11

Tổ hợp xác suất trong đề thi thử 2018

Đáp án chi tiết phần tổ hợp xác xuất trong đề thi thử 2018: phần phân loại vận dụng cao tổ hợp xác suất nhị thức Newton.

TỔ HỢP XÁC SUẤT TRONG ĐỀ THI THỬ 2018

  • Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà mỗi số  chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số .
  1. B. C. D.

Lời giải

Chọn         A.

Đặt  là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán.

{ các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có  chữ số  thì ta có thể bổ sung thêm  số  vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9. Do đó ta xét các số thuộc A có dạng

mà trong  không có chữ số 9}

mà trong  có đúng 1 chữ số 9}

Ta thấy tập A có  phần tử

Tính số phần tử của

Với  và  với . Từ đó ta suy ra  có  phần tử

Tính số phần tử của

Để lập số của thuộc tập  ta thực hiện liên tiếp hai bước sau

Bước 1: Lập một dãy gồm  chữ số thuộc tập  và tổng các chữ số chia hết cho 9. Số các dãy là

Bước 2: Với mỗi dãy vừa lập trên, ta bổ sung số 9 vào một vị trí bất kì ở dãy trên, ta có 2010 các bổ sung số 9

Do đó  có  phần tử.

Vậy số các số cần lập là: .

  • Từ các số có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.
  1. 104 B. 106 C. 108                                                               D. 112

Lời giải

Chọn         C.

Cách 1: Gọi  là số cần lập

Theo bài ra ta có:  (1)

Mà  và đôi một khác nhau nên

(2)

Từ (1), (2) suy ra:

Phương trình này có các bộ nghiệm là:

Với mỗi bộ ta có  số.

Vậy có  số cần lập.

Cách 2: Gọi  là số cần lập

Ta có:

. Do

Suy ra ta có các cặp sau:

Với mỗi bộ như vậy ta có  cách chọn  và  cách chọn

Do đó có:  số thỏa yêu cầu bài toán.

  • Có nam và  nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra  người trong đó có ít nhất  nam và ít nhất  nữ () với  là số cách chọn có ít hơn  nam,  là số cách chọn có ít hơn  nữ.
  1. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .
  2. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .
  3. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .
  4. Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .

Lời giải

Chọn D

Số cách chọn  người trong  người là: .

*Số cách chọn có ít hơn  nam là: .

*Số cách chọn có ít hơn  nữ là: .

Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: .

  • Nếu một đa giác đều có đường chéo, thì số cạnh của đa giác là:
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn A

Cứ hai đỉnh của đa giác   đỉnh tạo thành một đoạn thẳng (bao gồn cả cạnh đa giác và đường chéo).

Khi đó số đường chéo là:

(vì ).

  • Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn C

Đa giác có  cạnh .

Số đường chéo trong đa giác là: .

Ta có: .

  • Cho đa giác đều đỉnh,  và . Tìm  biết rằng đa giác đã cho có  đường chéo.
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn D

+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi  đỉnh là , trong đó có  cạnh, suy ra số đường chéo là .

+ Đa giác đã cho có  đường chéo nên .

+ Giải PT:, .

  • Trong mặt phẳng cho điểm, trong đó không có  điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi  trong  điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu?
  1. . B. .
  2. . D. .

Lời giải

Chọn D

Gọi  điểm đã cho là . Xét một điểm cố định, khi đó có  đường thẳng nên sẽ có  đường thẳng vuông góc đi qua điểm cố định đó.

Do đó có  đường thẳng vuông góc nên có

giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau).

Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại:

* Qua một điểm có  nên ta phải trừ đi  điểm.

* Qua  có 3 đường thẳng cùng vuông góc với  và 3 đường thẳng này song song với nhau, nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi: .

* Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam giác, do đó trường hợp này ta phải trừ đi .

Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: .

  • Cho đa giác đều đỉnh,  và . Tìm  biết rằng đa giác đã cho có  đường chéo
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn D

+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi  đỉnh là , trong đó có  cạnh, suy ra số đường chéo là .

+ Đa giác đã cho có  đường chéo nên .

+ Giải PT:.

  • Giá trị của thỏa mãn đẳng thức  là
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn C

PP sử dụng máy tính để chọn đáp số đúng (PP trắc nghiệm):

+ Nhập PT vào máy tính:

+ Tính (CALC) lần lượt với  (không thoả); với  (không thoả); với  (thoả), với  (không thoả)

  • Cho đa giác đều đỉnh,  và . Tìm  biết rằng đa giác đã cho có  đường chéo
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn         D.

+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi  đỉnh là , trong đó có  cạnh, suy ra số đường chéo là .

+ Đa giác đã cho có  đường chéo nên .

+ Giải PT:.

  • Số hạng thứ của khai triển  không chứa . Tìm  biết rằng số hạng này bằng số hạng thứ hai của khai triển .
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải.

Chọn D

.

Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với  nên số hạng thứ ba của khai triển là .

Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa  nên .

Số hạng thứ 2 của khai triển  là .

Khi đó ta có .

  • Trong khai triển biết tổng các hệ số . Hệ số của  bằng
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải.

Chọn C

.

Thay  vào khai triển ta được

.

Hệ số của  bằng .

  • Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển ?
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải.

Chọn B

.

Các số hạng hữu tỉ sẽ thỏa mãn .

Từ  đến  có  số chia hết cho .

  • Cho khai triển , trong đó và các hệ số thỏa mãn hệ thức . Tìm hệ số lớn nhất?
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải.

Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển  là , , . Vậy hệ số của số hạng chứa  là .

Khi đó, ta có

.

Dễ thấy  và  không phải hệ số lớn nhất. Giả sử   là hệ số lớn nhất trong các hệ số .

Khi đó ta có

Do

Vậy hệ số lớn nhất là .

  • Cho khai triển , trong đó và các hệ số thỏa mãn hệ thức . Tìm hệ số lớn nhất?
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải.

Chọn B

Số hạng tổng quát trong khai triển  là , , . Vậy hệ số của số hạng chứa  là .

Khi đó, ta có

Dễ thấy  và  không phải hệ số lớn nhất. Giả sử   là hệ số lớn nhất trong các hệ số .

Khi đó ta có

.

Do .

Vậy hệ số lớn nhất là .

  • Tính tổng
  1. . B. . C. .                                                               D.

Hướng dẫn giải:

Chọn         A.

Ta có:.

Vế trái của hệ thức trên chính là:

Và ta thấy hệ số của  trong vế trái là

Còn hệ số của  trong vế phải  là

Do đó .

  • bằng
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải.

Chọn D

Xét khai triển .

Thay  vào khai triển ta được .

Thay  vào khai triển ta được :

.

Từ  và  suy ra .

  • Giải bóng chuyền VTV Cup có đội tham gia trong đó có  đội nước ngoài và  đội củaViệt nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành  bảng đấu ,, mỗi bảng  đội. Xác suất để  đội Việt nam nằm ở  bảng đấu là
  1. . B. . C. .                                                               D.

Lời giải

Chọn B

+ Số phần tử không gian mẫu: .

(bốc 4 đội từ 12 đội vào bảng A – bốc 4 đội từ 8 đội còn lại vào bảng B – bốc 4 đội từ 4 đội còn lại vào bảng C – hoán vị 3 bảng)

Gọi : “đội Việt Nam nằm ở  bảng đấu”

Khi đó: .

(bốc 3 đội NN từ 9 đội NN vào bảng A – bốc 3 đội NN từ 6 đội NN còn lại vào bảng B – bốc 3 đội NN từ 3 đội NN còn lại vào bảng C – hoán vị 3 bảng – bốc 1 đội VN vào mỗi vị trí còn lại của 3 bảng)

Xác suất của biến cố  là .

  • Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Xác suất chọn được số lớn hơn  là
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn C

Số có chữ số có dạng: .

Số phần tử của không gian mẫu: .

Gọi : “ tập hợp các số tự nhiên có  chữ số phân biệt và lớn hơn .”

TH1.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Vậy trường hợp này có:  (số).

TH2. ,

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Vậy trường hợp này có:  (số).

TH3. , ,

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Vậy trường hợp này có:  (số).

TH4. , , ,

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Vậy trường hợp này có:  (số).

Như vậy: .

Suy ra: .

  • Cho đa giác đều đỉnh. Chọn ngẫu nhiên  đỉnh trong  đỉnh của đa giác. Xác suất để  đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn A

Số phần tử không gian mẫu: .

(chọn 3 đỉnh bất kì từ 12 đỉnh của đa giác ta được một tam giác)

Gọi : “ đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”.

(Chia  đỉnh thành  phần. Mỗi phần gồm  đỉnh liên tiếp nhau. Mỗi đỉnh của tam giác đều ứng với một phần ở trên.Chỉ cần chọn 1 đỉnh thì 2 đỉnh còn lại xác định là duy nhất).

Ta có: .

Khi đó: .

  • Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có  chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Xác suất chọn được số lớn hơn  là
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn C

Số có  chữ số có dạng: .

Số phần tử của không gian mẫu: .

Gọi : “ tập hợp các số tự nhiên có  chữ số phân biệt và lớn hơn .”

TH1.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Vậy trường hợp này có:  (số).

TH2. ,

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Vậy trường hợp này có:  (số).

TH3. , ,

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Vậy trường hợp này có:  (số).

TH4. , , ,

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Chọn : có  cách chọn.

Vậy trường hợp này có:  (số).

Như vậy: .

Suy ra: .

  • Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có  chữ số phân biệt được lấy từ các số ,,,,,,,,. Chọn ngẫu nhiên một số từ . Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn C

Số phần tử không gian mẫu: .

(mỗi số tự nhiên  thuộc là một chỉnh hợp chập 6 của 9- số phần tử của  là số chỉnh hợp chập 6 của 9).

Gọi : “số được chọn chỉ chứa  số lẻ”. Ta có: .

(bốc ra 3 số lẻ từ 5 số lẻ đã cho- chọn ra 3 vị trí từ 6 vị trí của số  xếp thứ tự 3 số vừa chọn – bốc ra 3 số chẵn từ 4 số chẵn đã cho xếp thứ tự vào 3 vị trí còn lại của số )

Khi đó: .

  • Một hộp đựng tấm thẻ được đánh số từ  đến . Chọn ngẫu nhiên  tấm thẻ. Gọi  là xác suất để tổng số ghi trên  tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó  bằng:
  1. . B. . C. .                                                               D. .

Lời giải

Chọn D

. Gọi :”tổng số ghi trên  tấm thẻ ấy là một số lẻ”.

Từ  đến  có  số lẻ và  số chẵn. Để có tổng là một số lẻ ta có  trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được  thẻ mang số lẻ và  thẻ mang số chẵn có:  cách.

Trường hợp 2: Chọn được  thẻ mang số lẻ và  thẻ mang số chẵn có:  cách.

Trường hợp 2: Chọn được  thẻ mang số lẻ và  thẻ mang số chẵn có:  cách.

Do đó . Vậy .

  • Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là , và  (với ). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là  và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là . Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.
  1. . B. . C. .                                                              D. .

Lời giải

Chọn A

Gọi  là biến cố “người thứ  ghi bàn” với .

Ta có các  độc lập với nhau và .

Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”

B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”

C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”

Ta có:

Nên

Suy ra (1).

Tương tự: , suy ra:

hay là  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: , giải hệ này kết hợp với  ta tìm được

và .

Ta có:

Nên .

  • Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1.
  1. . B. . C. .                                                              D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là  và xác suất trả lời câu sai là .

Gọi  là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là

Số điểm học sinh này đạt được là:

Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi

Mà  nguyên nên  nhận các giá trị: .

Gọi  () là biến cố: “Học sinh trả lời đúng  câu”

A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”

Suy ra:  và

Mà:  nên .

 

Comments

comments

Series Navigation<< Lý thuyết về phép dời hình và hai hình bằng nhauLý thuyết giải các phương trình lượng giác cơ bản thường gặp >>