Tóm tắt lý thuyết số phức và bài tập số phức

Đây là phần 47 of 99 trong Series Công thức giải nhanh và bài tập hay

 

Định nghĩa số phức

- Mỗi biểu thức dạng a+bi(a,bR) được gọi là một số phức, trong đó:

+ a là phần thực.

+ b là phần ảo.

+ i là đơn vị ảo và i2 = -1.

- Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

- Mỗi số thực là một số phức có phần ảo bằng 0.

- Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.

Các khái niệm liên quan số phức

1) Số phức bằng nhau: Cho hai số phức z1=a1+b1i;z2=a2+b2i. Ta có:

z1=z2{a1=a2b1=b2 (phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo)

2) Môđun của số phức: Cho số phức z=a+bi. Môđun của số phức z, kí hiệu là |z| và tính bởi công thức: |z|=a2+b2−−−−−−√

3) Số phức liên hợp: Cho số phức z=a+bi. Số phức liên hợp của số phức z là z¯¯¯=abi.

4) Biểu diễn hình học của số phức: Điểm M(a;b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

- Trục Ox: trục thực

- Trục Oy: trục ảo

Phương pháp giải phương trình trong tập số phức

- Nếu trong phương trình chỉ chứa z hoặc z¯¯¯ thì ta biến đổi z hoặc z¯¯¯ về một vế và rút gọn.

- Nếu trong phương trình chứa z, z¯¯¯, z2, … thì ta đặt z=x+yi(x,yR).

- Nếu là phương trình bậc hai thì ta xét Δ=b24ac.

* Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (thực) x=b2a.

* Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm (thực) phân biệt ⎡⎣z1=b+Δ2az2=bΔ2a

* Nếu Δ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức liên hợp ⎡⎣⎢⎢z1=b+i|Δ|2az2=bi|Δ|2a

- Nếu là phương trình bậc ba thì ta chia Hoocner.

- Nếu là phương trình bậc bốn trùng phương thì ta xem đây là phương trình bậc hai với ẩn số là z2.

Chú ý: Mọi phương trình bậc trình bậc n (n  1) đều có đúng n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt. Đây là định lý cơ bản của Đại số học.

Bài tập số phức

I . Thực hiện các phép toán. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp.

Bài 1: Thực hiện các phép tính:

1) số phức           2)          3)

4)    5) 

6)         7)          8) 

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và modun của số phức z, biết:

1)         2)  và .

3)        4) 

5)          6) 

7)  và  là số thuần ảo         8) 

9)             10) 

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện .

Tính modun của  .

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn . Tính modun của .

II . Tìm tập hợp điểm biểu diễn:

Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau: 

1.                   2.             3. 1 < | z – 1 | < 2          4.   | z – 1 | ≤ 2

5.    6.     7.          8.     

9.         10.             11. 

III . Giải phương trình:

Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức

1.    2.         

3.              4.          

5.      6.  

7.            8. | z | - iz = 1 – 2i

9. z2+3(1+i)z - 6 - 13i = 0           10.    

11. z4 – 3z2 + 4 = 0       12.          

13.                14. 

15.                16. 

17.          18.       

Bài 2: Cho  là các nghiệm phức của phương trình .

Tính giá trị của biểu thức 

Series Navigation<< Phương pháp giải nhanh phương trình số phức cơ bản và nâng caoPhương pháp tìm nguyên hàm của hàm số >>